Wahrscheinlichkeitsraum aufstellen. Würfel wird n mal geworfen

Question

folgende Aufgabe:

Ein Würfel werde n-mal geworfen. Bestimmen Sie unter vollständiger Angabe der Wahrscheinlichkeitsräume und Ereignisse die Wahrscheinlichkeiten von

a) A_k = {der k-te Wurf ergibt eine 3}

b) B_k = {der k-te Wurf ergibt die erste 3}

c) C_k = { der k-te und (k+1)-te Wurf ergeben die ersten beiden 3en}

Drücken Sie weiterhin die Ereignisse B_k und C_k mit Hilfe der Ereignisse A_k bzw. A_k^c aus.

Meine Idee:

Es ist bestimmt vollkommen simpel, aber ich tue mich immer wieder schwer damit einen Wahrscheinlichkeitsraum aufzustellen.

(Ω, F, P) sei der W'raum

a) Ω = {1,2,3,4,5,6}ⁿ 

F = {A_k, A_k^c} mit A_k = {der k-te Wurf ergibt eine 3} und A_k^c = {es wird keine 3 geworfen}

P(A_k)=1/6 und P(A_k^c)= (5/6)ⁿ

b) hier bin ich mir unsicher, ob das nicht auch einfach der gleiche W'raum wie bei (a) ist ?

c) Ω = {1,2,3,4,5,6}ⁿ 

F = {C_k, A_k, C1_k, C2_k, A_k^c} mit C_k = {k-te und (k+1)-te Wurf ergibt die ersten beiden 3en}, A_k = {der k-te Wurf ergibt eine 3}, C1_k = {der (k+1)-te Wurf ergibt eine 3} , C2_k = {es werden nur 3en geworfen} und A_k^c = {es wird keine 3 geworfen}

P(C_k) = (1/6)² * (5/6)ⁿ  , P(A_k) = 1/6  , P(C1_k) = P(A_k) = 1/6 ,P(C2_k) = (1/6)ⁿ , P(A_k^c) = (5/6)ⁿ

Comments

Bin übrigens bei dieser Aufgabe immer noch nicht weiter gekommen. Je länger ich mir das angucke, desto verwirrender ist es.

Also wäre nett, wenn da mal jemand drüber gucken könnte

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Kannst du die Antwort hier nicht verallgemeinern https://www.mathelounge.de/477796/endlichen-wahrscheinlichkeitsraum-wurfeln-wurfeln-aufstellen ?

Wenn nein? Warum nicht?

Answer 1

Hallo studi01, hier das Wichtigste zu Teilaufgabe a:

Ω = {1,…,6}ⁿ = {(a₁,a₂,…,a_n): a_i ∈ {1,…,6} für i ∈ {1,...,n}}

A_k = {k-ter Wurf ist 3}

P(A_k) = 1/6

A_k^c = {k-ter Wurf ist nicht 3}

P(A_k^c) = 5/6

Probe:  P(A_k) + P(A_k^c) = 1

 

Comments

Habe mich die letzten Tage noch mit anderen aus der Uni über die Aufgabe unterhalten und ich war zum Glück nicht alleine mit der Frage. Haben dann nach einigen Diskussionen bei der a) auf dasselbe Ergebnis wie du geeinigt und es auch dementsprechend auf b) und c) angewandt.

Das mit dem Wahrscheinlichkeitsraum wird mir wohl noch für eine Weile ein Rätsel bleiben.

Trotzdem danke nochmal!

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Hallo studi01, auf keinen Fall aufgeben!  Hast du von meiner Antwort eine Zeile / mehrere Zeilen nicht verstanden?  Welche?  Ich kann dir jede einzelne Zeile anschaulich erklären, wenn du willst.

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Also Ω und die Wahrscheinlichkeiten für A_k bzw. A_k^c waren mir irgendwie klar, aber mein Problem war oder ist, dass ich nicht ganze weiß was man für F und P hinschreiben soll.

Mein Übungsleiter meinte, dass F die Potenzmenge ist und dementsprechend einfach nur F=P(Ω) girt und das wars. Das würde wohl fürs erste/für diese Art von Modell reichen. Und P ist dann P = |A| / |Ω|

Das hatten wir zwar auch in der Vorlesung definiert, aber mir ist dann nicht ganz klar, dass man es einfach nur auch so hinschreiben braucht, ohne es weiter zu erläutern

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Hallo studi01, was ist ein Wahrscheinlichkeitsraum?  Gucken wir in Wikipedia:  https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum:
Der Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Tripel aus Omega, Sigma und P.  Wir würfeln z. B. einmal.  Uns interessiert, ob eine gerade oder ungerade Zahl rauskommt.  Dann ist:
Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Omega ist die Menge aller Ergebnisse.
Sigma = {{1, 3, 5}, {2, 4, 6}}
Sigma ist die Menge aller uns interessierenden Ereignisse.  Jedes Ereignis ist eine Teilmenge von Omega.
P = {{1, 3, 5} -> 0,5; {2, 4, 6} -> 0,5}    
P ist eine Abbildung aller Elemente von Sigma ins Intervall [0,1] und heißt Wahrscheinlichkeit.
Der Wahrscheinlichkeitsraum beschreibt also unser Zufallsexperiment.
Beachte den Unterschied zwischen Ergebnis und Ereignis.
Man kann das Zufallsexperiment auch als Baum zeichnen, siehe Anlage.

Kannst du mir soweit folgen?  Oder hast du Fragen?