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Ein Spiegelglas hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten 50 und 80cm lang sind. Mit einem Glasschneider soll ein rechteckiger Spiegel entstehen.

Wie lang sind die Schnittkanten x und y zu wählen damit die Spiegelfläche maximal wird?

Vielen Dank schon jetzt!

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Hallo Julian,

das ist eine von diesen Standdard-Optimierungsaufgaben, die jeder einmal bekommt .... schau Dir folgende Skizze an. \(c\) und \(b\) seien die Katheten des Dreiecks:

Bild Mathematik  

Die Fläche \(F\) des Rechtecks ist \(F=x\cdot y\). Lt. Strahlensatz ist (Strahlzentrum in \(C\))

$$\frac{x}{c} = \frac{b-y}{b} \quad \Rightarrow x=\frac{c(b-y)}{b}$$

Das in die Gleichung für die Fläche einsetzen gibt:

$$F=x \cdot y=\frac{c(b-y)}{b} \cdot y=c\cdot y - \frac{c}{b}y^2$$

Nach \(y\) ableiten und Nullsetzen der Ableitung gibt

$$\frac{\partial F}{\partial y}= c - 2\frac{c}{b} \cdot y \quad \Rightarrow y_{opt}=\frac{b}{2}$$

Einsetzen in die Gleichung für \(x\) gibt \(x_{opt}=c/2\). Falls irgendwas nicht klar sein sollte, so frage bitte nach.

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