Funktionsgleichung erzeugt ein Viereck

Question

Gegeben ist die Funktionsgleichung f₁(x)=(x²+x)/(x²+1). Damit werden drei weitere Funktionen definiert: f₂(x)=f₁(-x), f₃(x)=1-f₁(-x) und f₄(x)=1-f₁(x). Die Punkte A(f₁(x)|f₂(x)), B(f₂(x)|f₄(x)), C(f₄(x)|f₃(x)) und D(f₃(x)|f₁(x)) bilden ein Viereck, das für alle Zahlen x die gleiche Form hat. Welche Form ist das? Antwort bitte mit Beweis.

Answer 1

Die Funktionen haben also die Gleichungen

f1(x) = (x²+x) / (x² + 1)

f2(x) = (x² - x) / (x² + 1)

f3(x) = (x+1) / (x² + 1)

f4(x) = (1-x) / (x² + 1)

Dann ist z.B. die Länge von AB

|AB| = √ (f2(x)-f1(x))² + (f4(x) - f2(x))²  )

        = √ ( 4x² / (x² + 1)²  + (1-x²)² / (x² + 1)²  )

        = √ ( ( 4x² + 1 -  2x² + x⁴ ) / (x² + 1)²  )

        =  1

Ebenso die anderen 4 Seiten des 4-ecks.

Also ist es jedenfalls eine Raute mit der Seitenlänge 1.

Außerdem sind alle Winkel 90°.

Berechne einfach die Skalarprodukte der Vektoren,

etwa  AB * BC  etc. Das gibt immer 0.

Also sind es alles Quadrate mit der Seitenlänge 1.

Die Diagonalen schneiden sich immer im Punkt  M (0,5 ; 0,5 ) ,

also die Ecken liegen immer alle auf demselben Kreis um

M mit Radius 0,5*√2 .

Falls du geogebra benutzt, schau mal hier:

Quadrat_mit_f.ggb (10 kb)