Weisen Sie nach, dass das Viereck PQRS ein Parallelogramm aber kein Rechteck ist.

Question

Gegeben:

P ( 0 / -2 / 0 ), Q ( -2 / 0 / 0 ), R ( -1 / 2 / 4 ), S ( 1 / 0 / 4 ) und aus irgendeinem Grund ist in der Aufgabe noch ein fünfter Punkt angegeben S ( 5 / 5 / 0 ).

Aufgabe:

Weisen Sie nach, dass das Viereck PQRS ein Parallelogramm aber kein Rechteck ist.

Ansatz:

Ich habe zunächst einmal die Strecken (also Q-R, R-S, usw.) und Längen folgender Vektoren berechnet:

PQ und SR: Kommt bei beiden Wurzel 8 raus.

PS und QR: Kommt bei den Wurzel 21 raus.

Um nun zu beweisen, dass es sich um ein Parallelogramm und kein Rechteck handelt, wollte ich die Diagonalen ausrechnen, also die Strecke von PR und QS.

PR (R-P) = ( -1 / 4 / 4 ) Länge = Wurzel 33 also 5,744...

QS (S-Q9  = ( 3 / 0 / 4 ) Länge = Wurzel 25 also 5

Frage/Problem:

1. Brauche ich den 5. Punkten S ( 5 / 5 / 0 ) überhaupt? Falls ja wie rechne mit diesem bzw. was rechne ich mit diesem dann überhaupt aus?

2. Ist mein Ansatz mit dem Rechteck richtig? Weil es kommt halt einmal 5,744 und 5 raus. Eigentlich sollte sich da ja nichts abweichen, sondern genau die identischen Ergebnisse rauskommen. Falls ich aber hier komplett falsch gerechnet haben sollte, würde ich mich über eine richtige Lösung freuen :))

Dankeschön im Voraus!!!

Answer 1

Bist du sicher, dass der 5. Punkt den gleichen Namen (S) wie der vierte Punkt hat??

Das klingt sehr nach einer Pyramide mit einem Parallelogramm als Grundfläche. Den 5. Punkt (Spitze des Parallelogramms) brauchst du sicher erst in den nächsten Teilaufgaben.

Für den Nachweis "Parallelogramm" musst du nicht einmal Längen ausrechnen.

Sollte der Vektor PQ mit dem Vektor SR übereinstimmen, genügt das bereits als Parallelogrammnachweis!

Für den Nachweis "kein Rechteck" genügt es zu zeigen, dass einer der 4 Innenwinkel NICHT 90° ist.

Kennt ihr schon das Skalarprodukt? Wenn nicht - Umkehrung vom Satz des Pythagoras verwenden.

Dein Weg (Vergleich der Diagonalenlängen) geht aber auch.

Comments

Danke für die schnelle Antwort.

1. Was genau meinst du mit deiner ersten Frage?

2. Leider gibt es keine weiteren Teilaufgaben. Die vorliegende Aufgabe war als eine komplette angegeben.

3. Und jo, Skalarprodukt hatten wir schon :))

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1. Was genau meinst du mit deiner ersten Frage?

Ich reagiere damit auf deine Behauptung, dass der vierte Punkt S heißt und der fünfte Punkt auch (siehe blaue Hervorhebung):

S ( 1 / 0 / 4 ) und aus irgendeinem Grund ist in der Aufgabe noch ein fünfter Punkt angegeben S ( 5 / 5 / 0 ).

3. Und jo, Skalarprodukt hatten wir schon :))

Damit hättest du auch \( \overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{QR} \) bilden können und zeigen können, dass das nicht 0 ist.

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Achso sorry, ändere ich schnell (Rechtschreibfehler). Der Punkt 5 ist auf meinem Arbeitsblatt als A gekennzeichnet (also A ( 5 / 5 / 0 ))

Und ja so habe ich es auch gemacht. Hätte man auch hier den Vektor RS und PS nehmen können?

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NACHTRAG:

Punkt 5 A ( 5 / 5 / 0 ) war ein Fehler in der Aufgabe. Man musste nur mit den Punkten PQRS rechnen!