Zeige, dass das Viereck MA MB MC MD immer ein Parallelogramm ist

Question

die Aufgabe lautet :
Gegeben ist ein beliebiges Viereck ABCD . Die Punkte MA , MB , MC und MD sind die Mittelpunkte der Seiten a b c bzw. d .

1) Zeige, dass das Viereck MA MB MC MD immer ein Parallelogramm ist.

2) Jetzt seien gegeben A ( 2|3|-1) , B(5|-3|-2) , C(4|1|6) , D(7|9|7). Berechne das Volumen der Pyramide MA MB MC MD S mit der Spitze ( 12,29,30)
Wie geht die 1 ? Und die 2, benutzt man doch mit der Formel 1/3 ((a x b)) * c oder?

Comments

Idee zur 1) zeige, dass M_aM_b = M_dM_c

Die Vektorsumme entlang von geschlossenen Vektorzügen ist immer der Nullvektor.

D.h. AB + BC + CD + DA = 0  (Vektorgleichung)

Also AB + BC = -( CD + DA) = DC + AD

Du musst nun zeigen, dass M_aM_b = M_dM_c

 

Beweis: M_aM_b  = 0.5AB + 0.5BC = 0.5(DC +AD)= M_dM_c

qed.

Answer 1

2) Jetzt seien gegeben A ( 2|3|-1) , B(5|-3|-2) , C(4|1|6) , D(7|9|7). Berechne das Volumen der Pyramide MA MB MC MD S mit der Spitze ( 12,29,30)
Und die 2, benutzt man doch mit der Formel 1/3 ((a x b)) * c oder?

Ja. Du musst einfach erst 3 dieser Mittelpunkte berechnen. Dass ein Parallelogramm als Grundfläche rauskommt, weisst du ja aus dem ersten Teil.

Comments

welche drei mittelpunkte muss ich berechnen?

kann ich nicht einfach a x b nehmen ?

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Nein. Du brauchst schon die Eckpunkte der Grundfläche und die ist bei deiner Pyramide MA MB MC MD S am einfachsten mit MA MB MC MD. Weil du bereits gezeigt hast, dass das ein Parallelogramm sein muss.

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d.h. ich muss jetzt ma mb kreuzen ? dann mal mc nehmen ?

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kann ich nicht die grundefläche so berechnen , indem ich AB * BC nehme ? Und dann die Höhe entspricht dann s

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so ich habe jetzt : MA kreuzt MB genommen : ( 3,5 | 0 | -1,5) x ( 4,5 | -1 | 2 ) = (-1,5 | -13,75 | -3,5)
Dann habe ich mal s genommen und das ganze durch 3 :

((-1,5 | -13,75 | -3,5)  * ( 12 | 29 | 30)) / 3 = - 173,92  = 173,92

Stimmt das ?