Zeigen sie, dass Viereck ABCD ein Parallelogramm ist (Nur zeigen, dass AB = DC?)

Question

Ich habe folgende Aufgabe: Ich soll zeigen, dass ein Viereck ABCD ein Parallelogramm ist. Gut, weiß ich. Man setzt entweder die Vektoren AB = DC oder die Vektoren AD = BC. Danach einfach entsprechend die Richtungsvektoren mithilfe der Punkte bestimmen und dann beide gleichsetzen. Sind beide Richtungsvektoren gleich, so wissen wir, dass die beiden parallel zueinander sind.

Meine Frage allerdings ist jetzt, kann ich mir dann tatsächlich sicher sein, dass ich bewiesen habe, dass es sich hier um ein Parallelogramm handelt? Denn es könnte ja jetzt auch genauso gut sein, dass es sich hier eben um ein stinknormales Rechteck handelt. Müsste ich also nicht eigentlich mindestens noch die Winkel ∝ und ß ausrechnen?

Gruß,
Caje.

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Rechtecke sind auch Parallelogramme.

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Denn es könnte ja jetzt auch genauso gut sein, dass es sich hier eben um ein stinknormales Rechteck handelt. Müsste ich also nicht eigentlich mindestens noch die Winkel ∝ und ß ausrechnen? 

Rechtecke sind auch Parallelogramme.

Wenn du Vektoren AB = DC oder die Vektoren AD = BC geprüft hast, könnte es noch sein, dass alle Punkte auf einer Geraden liegen. Also ein entartetes Rechteck mit Fläche 0 vorliegt. Solltest du das ausschliessen wollen, genügt es zu zeigen, dass der Vektor AB nicht parallel zu AD ist. Spezialfälle, bei denen zwei mal zwei der gegebenen Punkte gleich sind, erkennst du ohne Rechnung. 

Answer 1

Hallo Cajetan,

ein solches Viereck - mit "normaler" Punktebenennung ABCD gegen den Uhrzeigersinn) - ist bereits dann ein Parallelogramm (schließt Rechteck ein), wenn gilt:

 \(\overrightarrow{AB}\)  = \(\overrightarrow{DC}\)       [ oder  \(\overrightarrow{AD}\) = \(\overrightarrow{BC}\) ]

Gruß Wolfgang