Bestimmen Sie die Koordinaten der Seitenmiten Ma, Mb, Mc und Md.

Question

Aufgabe:

a) Gegeben ist das Viereck ABCD mit A(1|1|1), B(9|5|3), C(-3|-1|7) und D(3|7|5). Bestimmen Sie die Koordinaten der Seitenmiten Ma, Mb, Mc und Md. Zeigen Sie, dass das Viereck MaMbMcMd ein Parallelogramm ist.

b) Zeigen Sie, dass die Vektoren \( \vec{MaMb} \) und \( \vec{MdMc} \) bei jedem Viereck ABCD identisch sind. Stellen Sie dazu diese Vektoren zunächst mithilfe der Vektoren \( \vec{a} \), \( \vec{b} \), \( \vec{c} \) und \( \vec{d} \) aus obiger Abbildung dar und ersetzen Sie dann den Term, in dem die Vektoren \( \vec{c} \) und \( \vec{d} \) vorkommen, durch einen Term, in dem nur noch die Vektoren \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) vorkommen.

Comments

Was hast du dir bereits überlegt?

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Bei der Aufgabe 9b) würde ich die Vektorgleichungen gleichsetzen

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Kannst du bitte nochmal deine angegebenen Punkte kontrollieren?

Answer 1

Ma = 1/2·(A + B) = 1/2·([1, 1, 1] + [9, 5, 3]) = [5, 3, 2]

Kannst du Mb, Mc und Md jetzt alleine Bestimmen?

Comments

a) verstehe ich schon. b) nur nicht.

Müsste nicht bei a) außerdem so gerechnet werden:

\( \vec{a} \) = \( \vec{AB} \) = \( \begin{pmatrix} 9\\5\\3 \end{pmatrix} \)  - \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 8\\4\\2 \end{pmatrix} \) 

\( \vec{Ma} \) = 1/2 × \( \vec{a} \) 

=> Ma(4|2|1)

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Ma = 1/2·(A + B)

Mb = 1/2·(B + C)

Mc = 1/2·(C + D)

Md = 1/2·(A + D)

MaMb = 1/2·(B + C) - 1/2·(A + B) = 1/2·(C - A)

MdMc = 1/2·(C + D) - 1/2·(A + D) = 1/2·(C - A)

Stimmen also überein.

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Wie macht man aber die b)?

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Das ist b.

Allerdings habe ich dir Ortsvektoren und nicht die Richtungsvektoren genommen, weil ich das persönlich schöner finde.

Allerdings könntest du am Ende auch ersetzen

C - A = AC = AB + BC = a + b

Dann hättest du es durch die Vektoren a und b dargestellt.

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Ich habe b - a am Ende stehen.

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Ohne deine Rechnung zu sehen kann ich das nicht nachvollziehen.

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Zeichne dir das vielleicht auch mal in einem 3D-Koordinatensystem ein um ein besseres Verständnis zu bekommen. Oder lass zuerst mal die Z-Koordinate weg und zeichne das rein im 2D-Koordinatensystem. Alles sollte helfen dir das Verständnis zu verbessern.

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Ich habe dann folgendermaßen a) und b) gelöst:

a) Ma (5|3|2); Mb (3|2|5); Mc (0|3|6); Md (2|4|3)

Nachweis eines Parallelogramms:

MaMb = \( \sqrt{(3-5)²+(2-3)²+(5-2)²} \) ≈ 3,74 L.E.

MdMc = \( \sqrt{(0-2)²+(3-4)²+(6-3)²} \) ≈ 3,74 L.E.

McMb = \( \sqrt{(3-0)²+(2-3)²+(5-6)²} \) ≈ 3,32 L.E.

MdMa = \( \sqrt{(5-2)²+(3-4)²+(2-3)²} \) ≈ 3,32 L.E.

b) C ⃗-A ⃗=(AC) ⃗=(AB) ⃗+(BC) ⃗=a ⃗+b ⃗