Bestimmen Sie die Koordinaten der Seitenmiten Ma, Mb, Mc und Md.

Question

Aufgabe:

a) Gegeben ist das Viereck ABCD mit A(1|1|1), B(9|5|3), C(-3|-1|7) und D(3|7|5). Bestimmen Sie die Koordinaten der Seitenmiten Ma, Mb, Mc und Md. Zeigen Sie, dass das Viereck MaMbMcMd ein Parallelogramm ist.

b) Zeigen Sie, dass die Vektoren $\vec{MaMb}$ und $\vec{MdMc}$ bei jedem Viereck ABCD identisch sind. Stellen Sie dazu diese Vektoren zunächst mithilfe der Vektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ und $\vec{d}$ aus obiger Abbildung dar und ersetzen Sie dann den Term, in dem die Vektoren $\vec{c}$ und $\vec{d}$ vorkommen, durch einen Term, in dem nur noch die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ vorkommen.

Comments

Was hast du dir bereits überlegt?

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Bei der Aufgabe 9b) würde ich die Vektorgleichungen gleichsetzen

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Kannst du bitte nochmal deine angegebenen Punkte kontrollieren?

Answer 1

Ma = 1/2·(A + B) = 1/2·([1, 1, 1] + [9, 5, 3]) = [5, 3, 2]

Kannst du Mb, Mc und Md jetzt alleine Bestimmen?

Comments

a) verstehe ich schon. b) nur nicht.

Müsste nicht bei a) außerdem so gerechnet werden:

$\vec{a}$ = $\vec{AB}$ = $\begin{pmatrix} 9\\5\\3 \end{pmatrix}$  - $\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 8\\4\\2 \end{pmatrix}$ 

$\vec{Ma}$ = 1/2 × $\vec{a}$ 

=> Ma(4|2|1)

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Ma = 1/2·(A + B)

Mb = 1/2·(B + C)

Mc = 1/2·(C + D)

Md = 1/2·(A + D)

MaMb = 1/2·(B + C) - 1/2·(A + B) = 1/2·(C - A)

MdMc = 1/2·(C + D) - 1/2·(A + D) = 1/2·(C - A)

Stimmen also überein.

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Wie macht man aber die b)?

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Das ist b.

Allerdings habe ich dir Ortsvektoren und nicht die Richtungsvektoren genommen, weil ich das persönlich schöner finde.

Allerdings könntest du am Ende auch ersetzen

C - A = AC = AB + BC = a + b

Dann hättest du es durch die Vektoren a und b dargestellt.

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Ich habe b - a am Ende stehen.

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Ohne deine Rechnung zu sehen kann ich das nicht nachvollziehen.

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Zeichne dir das vielleicht auch mal in einem 3D-Koordinatensystem ein um ein besseres Verständnis zu bekommen. Oder lass zuerst mal die Z-Koordinate weg und zeichne das rein im 2D-Koordinatensystem. Alles sollte helfen dir das Verständnis zu verbessern.

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Ich habe dann folgendermaßen a) und b) gelöst:

a) Ma (5|3|2); Mb (3|2|5); Mc (0|3|6); Md (2|4|3)

Nachweis eines Parallelogramms:

MaMb = $\sqrt{(3-5)²+(2-3)²+(5-2)²}$ ≈ 3,74 L.E.

MdMc = $\sqrt{(0-2)²+(3-4)²+(6-3)²}$ ≈ 3,74 L.E.

McMb = $\sqrt{(3-0)²+(2-3)²+(5-6)²}$ ≈ 3,32 L.E.

MdMa = $\sqrt{(5-2)²+(3-4)²+(2-3)²}$ ≈ 3,32 L.E.

b) C ⃗-A ⃗=(AC) ⃗=(AB) ⃗+(BC) ⃗=a ⃗+b ⃗