Muss zwei Abbildungsmatrizen MA^A (F) und MB^B (F) berechnen!

Question

In ℚ3 seien

 

A={(1,2,3); ( 4,5,6);(7,8,0)}
und B = {(1,1,1); (1,0,-1);(1,-1,0)}

Sei f((x,y,z))= 1/3 *  (4x-2y+7z)
                                  (x+7y+z     )
                                  (4x+4y+z   )

- ist eine Matrix

 

ich soll jetzt M_A ^A (F) un M_B ^B (F) berechnen...komme dennoch nicht auf die Lösung, weil ich nicht weiß wie man vorgehen muss :/

!

Answer 1

Das ist durchaus viel Rechnerei:

Für die Abbildungsmatrix M_A^A ( f ) muss man die durch f gegebenen Bilder eines jeden der Spaltenvektoren von A als Linearkombinationen aller Spaltenvektoren von A darstellen:

Am vorliegenden Beispiel:

Der erste Spaltenvektor von A ist ( 1 , 4 , 7 )

Bildet man ihn mit f ab, erhält man:

f ( 1 , 4 , 7  ) = ( 1 / 3 ) * ( 4 * 1 - 2 * 4 + 7 * 7 , 1 + 7 * 4 + 7 , 4 * 1 + 4 * 4 + 7 ) = ( 16 , 12 , 9 )

Diesen Vektor muss man nun als Linearkombination aller Spaltenvektoren von A darstellen, also:

( 16 , 12 , 9 ) = m ₁₁ * ( 1 , 4 , 7 ) + m₂₁* ( 2 , 5 , 8 ) + m₃₁* ( 3 , 6 , 0 ) 

Dies führt auf das folgende lineare Gleichungssystem:

1 * m₁₁ + 2 * m₂₁ + 3 * m₃₁ = 16
4 * m₁₁ + 5 * m₂₁ + 6 * m₃₁ = 12
7 * m₁₁ + 8 * m₂₁ + 0 * m₃₁ = 9

Die durch Lösung dieses LGS bestimmbaren Faktoren m₁₁, m₂₁ und m₃₁ bilden die erste Spalte der Abbildungsmatrix M_A^A ( f )

Dasselbe muss man nun mit dem zweiten und dem dritten Spaltenvektor von A machen und erhält so die zweite und die dritte Spalte der Abbildungsmatrix M_A^A ( f ).

Ebenso geht man dann vor, um die Abbildungsmatix M_B^B ( f ) zu bestimmen.

Du wirst hoffentlich verstehen, dass ich dir diese Rechnerei nicht im Einzelnen vormachen möchte ...

 

Comments

Vielen dank für deine Antwort!!!!
Dass du dir viel Mühe gegeben hast und dir so viel Zeit genommen, um mir zu helfen!!!
Ich verstehe alles was du meinst, aber komme dennoch nicht auf die Lösung die mir vorgegeben ist....ich kann dir das ja mal hier posten...
Einen kleinen Fehler hattest du drin das müsste anstatt 16 -> 15 sein :)