Abbildungsmatrizen von 4 2x2 Matrizen jeweils

Question

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on \( { }^{11} \) Aufgabe 13 (5 Punkte) Für den Vektorraum \( \mathbb{R}^{2 \times 2} \) der reellen \( 2 \times 2 \)-Matrizen sind durch
\( \begin{array}{ll} B: & B_{1}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right), \quad B_{2}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right), \quad B_{3}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right), \quad B_{4}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \quad \text { und } \\ C: & C_{1}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right), \quad C_{2}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right), \quad C_{3}=\left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right), \quad C_{4}=\left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right) \end{array} \)
zwei Basen gegeben. Stellen Sie \( C_{4} \) bezüglich der Basis \( B \) dar.
\( C_{4}=\square B_{1}+\square B_{2}+\square B_{3}+\square B_{4} \)

Wir betrachten die lineare Abbildung \( \varphi: \mathbb{R}^{2 \times 2} \rightarrow \mathbb{R}^{2 \times 2}: A \mapsto A+A^{\top} \). Bestimmen Sie:
\( \begin{array}{l} { }_{B} \mathrm{id}_{C}=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right),{ }_{B} \varphi_{B}=\left(\begin{array}{llll} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right),{ }_{B} \varphi_{C}=\left(\begin{array}{llll} 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -2 & 0 \end{array}\right) \\ \operatorname{dim}(\operatorname{Bild}(\varphi))= \\ 3 \end{array} \)

Hallo, bei dieser Aufgabe komme ich problemlos auf C4, allerdings habe ich Schwierigkeiten mir die Transformationsmatrix id vorzustellen. Ich weiß, dass man von C nach B kommen möchte. Wie ist diese 4x4 Matrix zustande gekommen. Woher weiß ich auch, dass es nicht auch eine 2x2 Matrix ist?
LG

Answer 1

Die \(i\)-te Spalte der Abbildungsmatrix \(_B\!\operatorname{id}_C\) enthält die Koeffizienten der Basisdarstellung von $$\operatorname{id}(C_i)=a_1B_1+a_2B_2+a_3B_3+a_4B_4.$$

Bspw. ergibt sich für \(C_1\): $$\operatorname{id}(C_1)=C_1=B_1+B_4$$und damit die erste Spalte als \((1, 0, 0, 1)^T\).

Der Rest funktioniert dann analog.

Das folgt übrigens direkt aus der Definition einer Abbildungsmatrix: Stelle die Bilder der rechten Basis mit Hilfe der linken Basis dar und schreibe die Koeffizienten als Spalte in die Abbildungsmatrix.

Answer 2

Hallo.

Die gesuchten Darstellungsmatrizen sind was anderes als die Matrizen die du da als Element des zugehörigen Matrizenraumes gegeben hast. Die Matrizen die du da hast, sind einfache Elemente. Die Darstellungsmatrix dagegen ist ein Informationsträger und identifiziert deine lineare Abbildung. Schaue dir am besten die genaue Definition an.

1) Vorgehensweise um sie zu bestimmen:

Um die Darstellungsmatrix der Identität id von der Basis B nach C zu bestimmen, gehst du folgenderweise vor: Die Darstellungsmatrix der Identität von der Basis B nach C ist einfach die Übergangsmatrix von der Basis B nach C. Du stellst die Basismatrizen der Basis B durch den Basismatrizen der Basis C als Linearkombination dar. Die Koefizienten sind dann die Spalten deiner gesuchten Darstellungsmatrix bzw. in dem Falle Übergangsmatrix.

Um dann die Darstellungsmatrix der gegebenen linearen Abbildung in der Basis B zu bestimmen, setzt du die Basismatrizen aus B in die Abbildung ein und stellst diese Bildmatrizen bzgl. der Basis B in Linearkombination dar. Da sind dann die Spalteneinträge der Darstellungsmatrix wieder die Koeffizienten in der Linearkombination.

Bei der letzten Darstellungsmatrix der Abbildung analog, nur stellst du da deine Bildmateizen bzgl. der Basis C im Anschluss dar und liest dann da die Koeffizienten als Einträge der gesuchten Darstellungsmatrix ab.

2) Beispiel:

Ich mache für dich mal eine Beispielrechnung und du kannst dich bei deinem an diesem orientieren.

Gegeben sei die lineare Abbildung f: R^2 —> R^2, f(x,y) := (x+y, x). Wir suchen die Darstellungsmatrix in der Basis B := {(0,1),(1,0)} nach der Basis C := {(1,1), (1,0)} des R^2. Zuerst setzen wir die Basisvektoren der Basis B in die Abbildung ein. Es gilt

f(0,1) = (1,0) und f(1,0) = (1,1). Dann stellen wir diese als Linearkombination bzgl. der Basis C dar. Es gilt

f(0,1) = (1,0) = 0*(1,1) + 1*(1,0)

f(0,1) = (1,1) = 1*(1,1) + 0*(1,0)

Die Darstellungsmatrix von B nach C von f ist also die Matrix

0 1

1 0

(Also eine 2x2 Matrix mit Spalten (0,1) und (1,0))

In deiner Aufgabe machst du es genauso, nur das du da eben mit Matrizen als Element anstelle von Vektoren arbeitest.

Comments

Die Matrizen haben sehr wohl etwas damit zu tun, da sie ja die Basis vorgeben.

Eine Übergangsmatrix ist etwas anderes als eine Darstellungs- oder Abbildungsmatrix.

Bei der Abbildung \(_B\!\operatorname{id}_C\) wird die Basis \(C\) in die Basis \(B\) überführt.

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Eine Übergangsmatrix ist die darstellende Matrix der Identität. Das habe ich auch oben so gesagt. Übrigens ist eine darstellende Matrix i.A. keine Abbildungsmatrix.

Mit dem ,,nichts zu tun‘‘ meinte ich das die gegebenen Matrizen als Elemente des zugehörigen Matrizenraumes an sich nicht dasselbe sind wie die darstellende Matrix. Es hätten hier genauso Vektoren (siehe mein Beispiel) oder Polynome sein können. Aber gut, vielleicht war die Formulierung etwas schief. Habe es nochmal bearbeitet.

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Eine Übergangsmatrix ist die darstellende Matrix der Identität.

Kenne ich so nicht. Eine Übergangsmatrix kenne ich so nur als feststehenden Begriff in der Stochastik. Ich wüsste auch nicht, wieso man die Darstellungsmatrix einer Identität anders nennen sollte.

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Also wir nannten es so.

Wenn man ein n-dimensionalen Vektorraum V hat und zwei Basen B = {b_1,…,b_n} und C, so ist die Übergangsmatrix von B nach C die Matrix, welche als Spalten die Koordinatenvektoren von den Vektoren b_1,…,b_n bzgl. der Basis C hat. Also stellt diese Matrix den Basiswechsel von B nach C dar. Gleichzeitig ist sie aber auch wie leicht zu erkennen somit die Darstellungsmatrix der Identität id: V —> V von der Basis B nach C.(Es gilt ja id(b_i) = b_i für alle i = 1,…n)

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Ah, gerade gelesen. Das wird tatsächlich wohl auch als Synonym für die Basiswechselmatrix bzw. Transformationsmatrix verwendet. Finde ich tatsächlich aber eher ungünstig.

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Ja die Bezeichnung ist auch eigentlich egal. Das wichtigere ist das man weiss, wofür es dient.

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Achso okay, ich verstehe danke. Hätte auch drauf kommen können, dass man das für die einzelnen Spalten macht. Danke