Hallo.
Korrigierete Version (Die unteren Kommentare ignorieren):
Zuerst einmal war die Aussage ,,trivial‘‘ falsch ausgedrückt. Ich glaube du hast die Aufgabe falsch abgeschrieben. Bei a) habe ich oben das Problem erwähnt. Bei c) habe ich auch selber ein Fehler gemacht. f ist für kein kompates Intervall [0,b] Riemann-integrierbar. Siehe hier nochmal die neue Version meines Kommentars (Bitte auch meine weiteren Kommentare unten ignorieren!):
a) war ja bei dir falsch. Siehe oben mein letzten Kommentar dazu…
Bei b) musst du zeigen, das das Integral von exp(x) / x von 0 bis inf, divergiert.
Es reicht schon zu zeigen, das das Integral zu exp(x) / x von 1 bis inf, divergiert. Das kannst du mit dem Integraltest machen. Zeige dafür das die Reihe
Σ exp(n) / n, divergiert (d.h. Σ exp(n) / n = inf). Um das zu zeigen nutze den Vergleichstest, überlege doch mal wie du die Folge exp(n) / n nach unten abschätzen kannst. Da sollte man eigentlich schnell darauf kommen :)
Jedoch könnte man ja hier bestimmt aber auch mit lim (x—>inf) exp(x) / x = inf, argumentieren. Um das zu zeigen, nutze die Exponentialreihe und schätze es durch einen divergenten Summanden nach unten ab.
Bei c) beachte, das bereits die Funktion x ~> 1/x schon gar nicht in der Nähe von 0, Riemann-integrierbar ist. Das Integral von exp(x) / x in den Grenzen 0 bis b divergiert also nach dem Vergleichstest, wegen der Abschätzung (exp(x) / x) > (1/x) und da wie gesagt das Integral von 0 bis b von x ~> 1/x eine divergente Minorante davon ist.