Spezielle Lösung DGL 2. Ordnung Exponentialfunktion

Question

Aufgabe:

Spezielle Lösung DGL 2. Ordnung Exponentialfunktion

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand erklären, was es mit folgender Regel zu tun hat:

c ist keine Lösung der charakteristischen Gleichung, dann:

y_p = A e^cx

und

c ist eine r-fache Lösung der charakteristischen Gleichung:

y_p = A x^r e^cx

Was ist mit c gemeint? Wann ist es eine r-fache Lösung, bzw wann eine 1 fache und wann eine 2 fache?

Lg

Answer 1

Hallo,

Was ist mit c gemeint? Wenn z.B e^(2x) die Störfunktion ist, ist c=2 gemeint.

Wann ist es eine r-fache Lösung, bzw wann eine 1 fache und wann eine 2 fache?

Wenn für die Nullstellen der charakt. Gleichung gilt:

c ≠ { λ1 ,λ2) :Ansatz yp= A e^(cx)

c ∈ { λ1 ,λ2) , λ1 ≠ λ2 :  Ansatz yp= A *x e^(cx) , r=1 oder

c = λ1= λ2 : Ansatz yp= A *x^2 e^(cx) , r=2

Beispiel:

y''-2y'+y=e^x

------>c=1 weil es heißt e^ 1*x

------->charakt. Gleichung:

k^2 -2k +1=0

k_1,2=1

---->c ist eine 2-fache Lösung der charakteristischen Gleichung

---------->

Ansatz part.Lösung: yp=A x^2 e^x

Answer 2

Hallo

Weisst du was eine doppelte oder n fache Nullstelle ist? (λ-c)^5 hat bei c eine 5 fache Nullstellen x-c eine einfache,

du musst ja eine lineare Dgl vor dir haben, die Inhomogenität ist c

dann ist das die Regel eine partikuläre Lösung zu raten.

Gruß lul