allgemeine und spezielle lösung einer DGL

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für die folgende Differentialgleichung zunächst die allgemeine
Lösung und dann die spezielle Lösung für die angegebene Randbedingung:

y^ι =(x+y)^2    ; y(0)=0

Problem/Ansatz:

habe es mit substitution von x+y=u versucht und bekomme dann u=exp(1/2(u)^2). bekomme die rücksubstituiton nich hin und weiss nicht wie ich die randbedingung dann "einbaue". mag jemand helfen? ist der ansatz überhaupt richtig?

Answer 1

Siehe dazu eine alte Frage von mir https://www.mathelounge.de/417324/dgl-y-x-y-2-richtig-gelost

Comments

ok danke!
und wie behandel ich dann die randbedingung?

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y= tan(x+C₁) -x

y(0)=0

0=tan(0+C₁) -0

0= tan(C₁)

C₁=k π ; k∈G

->

y= tan(x+k π) -x

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danke für die antwort
verstehe aber nicht ganz woher das pi und das k kommen und wieso k nur element ganzer zahlen ist. gibt es eine lösung die für reelle zahlen gilt?
wenn ich den tan weghaben will nutze ich den arctan und arctan(0) ist doch null...
wo ist mein denkfehler?

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Wenn du \(0 = tan(C_1) \) nach \(x\) auflöst, dann erhältst du \(\pi\) aber der Tangens ist ja eine periodische Funktion (mit der Periode \(\pi\)) daher \(k\cdot\pi\), weil er sich alle \(k \in {G}\) wiederholt. Bild zu dem gesagten: https://de.wikipedia.org/wiki/Tangens_und_Kotangens#/media/Datei:Tangent-plot.svg