Question

Geben Sie für folgende Differentialgleichungen die allgemeine sowie die spezielle Lösung unter Berücksichtigung der vorgegebenen Anfangsbedingungen an:

(i)  y′(x) = 8x^2+√2x−1, y(0) = 4

(ii)  y′=x/y, y(2) = 4

(iii)  y′−ty= 0, y(0) = 21

(iv)  f′(x) = f(x)/x (0,5x−2), f(1) = 1

(v)  y′(x) + y(x) = 1, y(0 =) = 0

Comments

Warum kannst du die erste nicht lösen?

Answer 1

(i) Integrieren

(ii) Trennung der Variablen

(iii) ty addieren und dann Trennung der Variablen

(iv) Trennung der Variablen

(v) Homogene DGL mit Trennung der Variablen lösen. Dann Variation der Konstanten.

Answer 2

Bei v) geht auch folgender Ansatz:

\(f'(x)+f(x)=1 \quad \Leftrightarrow \quad f'(x)=1-f(x) \quad \stackrel{1-f(x)\neq 0}{\Leftrightarrow} \quad 1=\frac{f'(x)}{1-f(x)}\)

Dann ist weiter

\(\begin{aligned}\int_{x_0}^x 1 \space ds=\int_{x_0}^x \frac{f'(s)}{1-f(s)} \space ds \space \stackrel{s\mapsto f(s)}{=}\space \int_{f(x_0)}^{f(x)} \frac{1}{1-s}\space ds=-\int_{f(x_0)}^{f(x)} \frac{1}{s-1}\space ds\end{aligned}\)

also

\(x-x_0=-\ln(f(x)-1)+\ln(f(x_0)-1)\\\Rightarrow \quad x+\tilde{C}=-\ln(f(x)-1)=\ln\left(\frac{1}{f(x)-1} \right)\\\Rightarrow \quad C\cdot e^x=\frac{1}{f(x)-1} \quad \Leftrightarrow \quad f(x)=\frac{1}{C}\cdot e^{-x}+1\\\Rightarrow \quad \boxed{f(x)=\lambda\cdot e^{-x}+1}\)

Answer 3

Hallo,

DGL Aufgabe ii)

Comments

Die anderen Aufgaben ?

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Deine Ansätze? Es bringt doch nichts, wenn du keine Fragen stellst und nur Rechenwege sehen willst, denn in unseren Lösungen stecken nicht deine Gedankengänge.

Answer 4

Lösung: durch trennen der Veränderlichen

∫dy=∫(...)*dx

y=f(x)=∫(8*x²+W(2)*x-1*x⁰)*dx=8*∫x²*dx+W(2)*∫x*dx-1*∫x⁰*dx

y=f(x)=8/3*x³+W(2)/2*x²-1*x+C

f(0)=4=.....+C → C=4

y´=dy/dx=x/y

y*dy=x*dx

∫y*dy=∫x*dx

1/2*y²=1/2*x²+C

y²=x²+2*c → 2*C=Konstant=C

y=+/-Wurzelx²+C)

f(2)=4=+/-Wurzel(2²+C)

4²=16=4+C → C=16-4=12

y=f(x)=+/-Wurzel(x²+12)

iii y´-t*y=0  siehe Mathe-Formelbuch,was du privat in jedem Buchladen bekommst

Kapitel,Differentialgleichungen

homogene lineare Dgl 1.Ordnung mit Q(x)=0   → y´+P(x)*y=0

auch hier Lösung durch trennen der Veränderlichen

Lösungsformel y=f(x)=C*e^(-1*∫P(x)*dx

P(x)=... → -1*t

F(t)=-1*∫t=-1/2*t²

y=f(x)=C*e^(1/2*t²)

f(0)=21

f(0=C*e^(1/2*0²)=C*1 → C=21

y=f(t)=21*e^(1/2*t²)

iv auch hier Lösung durch trennen der Veränderlichen

y´=dy/dx=y/x*(0,5*x-2)

dy/y=(0,5*x-2/x)*dx integriert

∫dy/dy=∫(0,5-2/x)*dx

ln(y)=0,5*x-2*ln(x)+C   mit e

y=f(x)=e^(0,5*x-2*ln(x)+C   Potenzgesetz a^(r)*a^(s)=a^(r+s)

..=e^(0,5*x)*e(-2*ln(x))+e^(c)  → e^(c)=konstant=C

e^(-2*ln(x))=e^(-1*ln(x))*e^(-1*ln(x))=1/e^(ln(x))*1/e^(lnx))=1/x²

y=f(x)=e^(0,5*x)*1/x²*C

y=f(x)=C*1/x²*e^(0,5*x)

v hat die Form y´+1*y=1  → inhomogene lineare Dgl 1.Ordnung → y´+P(x)*y=Q(x)

hier P(x)=1 und Q(x)=1

Lösungsformel:y=f(x)=1/u(x)*∫u(x)*Q(x)*dx → u(x)=e^(∫P(x)*dx)

einsetzen und ausrechnen,schaffst du wohl selber.