Spezielle Lösung einer DGL

Question

Aufgabe:

Ermitteln Sie die spezielle Lösung für y‘(t) = 2t y(t) mit y(2) = 4.

Problem/Ansatz:

Meine Frage ist, wie man an speziellen Lösungen rangehen muss? Wie ist die Herangehensweise bei speziellen Lösungen? Welche Schritte sind für die o.g. Aufgabe notwendig?

Answer 1

y'(t) = 2t * y(t)

dy/dt = 2t * y

1/y dy/dt = 2t

1/y dy = 2t dt

log(y) + C1 = t^2 + C2

log(y) = t^2 + C2 - C1

y = e^(t^2 + C2 - C1)

y = e^(t^2) * e^C2 / e^C1

y(t) = C * e^(t^2)

und wegen y(2) = 4

y(t) = 4 * e^(t^2-4)

Comments

erstmal vielen lieben Dank für die detaillierte Erklärung.

Ich habe alles bis auf einen der Schritte verstanden.

$$ y=e^{t^{2}+C_{1}-C_{2}} $$

$$ y=e^{t^{2}} * e^{C_{1}} /  e^{C_{2}} $$

Ist das ein Potenzgesetz, dass Addition zur Multiplikation und Subtraktion zur Division wird, wenn man die Potenzen zerteilt?

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y = e^(t²) * e^C2 / e^C1      y(t) = C * e^(t²)

C = e^C2 / e^C1  könnte dann also nur positiv sein?  

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Die Lösung passt doch nicht so ganz...

In meiner Lösungsskizze steht:

y= c * exp(t²)

c=4*e^-4

Answer 2

y'(t)= 2t *y(t) ,y(2)=4

dy/dt= 2t *y

dy/y= 2t dt

ln|y| =t^2+C | e hoch

|y|=e^(t^2+c) =e^(t^2) *e^C

y= e^(t^2) * ±e^C

y= e^(t^2) * C₁

_{AWB: y(2)=4}

_{y= e^(t^2) * C1}

_{4= e^4 *C1}

_{C1= 4/(e^4)}

_----------<

_{y=(4/e^4) *e^(t^2)}

_{y=4 e^(t^2-4)}

_{Das Ergebnis ist richtig.}

Comments

Ich nehme alles zurück. Das hatte ich bereits gefragt und die Antwort auch bekommen (leider durch den Stress momentan vergessen). Kam nur nochmal durcheinander weil:

$$ \frac {4} {e^4} = 4e^{-4} $$

Von daher passt das alles.