Spezielle Exponentialfunktion integrieren

Question

Hi, ich habe folgende Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f: [0,∞) —> |R,

f(x) := exp(x) / x, wenn x ≠ 0 & f(0) := 1.

a) Zeige, das f stetig ist

b) Zeige, das f nicht uneigentlich Riemann-integrierbar in [0,∞) ist.

c) Zeige, das f für alle kompakten Intervalle [0,b], Riemann-integrierbar ist.

Also

a) ist klar.

Wie gehe ich bei b) und c) vor?

Comments

Nicht mal die Funktion 1/x ist im Intervall (0;1] Riemann-integrierbar. Dann ist es die "größere" Funktion e^x/x erst recht nicht.

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Ach ja. Danke

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Kann ich mal den Beweis für a sehen?

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Das ist doch klar

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Warte mal, das ist eben nicht klar!

Ich habe gar nicht auf a) geachteg. Die Funktion f ist im Nullpunkt gar nicht stetig!

Es gilt nämlich für x > 0:

lim (x—> 0) exp(x) / x

= lim (x—> 0) exp(x) lim (x—> 0) 1/x

= 1* lim (x—> 0) 1/x = inf.

Also insbesondere nicht lim f(x) = f(0) für x—> 0.

f ist also nur für x ≠ 0 (bzw. x > 0) als Zusammensetzung von stetigen Funktionen, stetig.

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Das ist doch klar

Dafür würde es 0 Punkte geben.

lim (x—> 0) exp(x) / x
= lim (x—> 0) exp(x) lim (x—> 0) 1/x

Das ist mathematisch falsch.

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@Apfelmännchen Ja die Schreibweise ist falsch. Strenggenommen existiert ja lim (0 < x—> 0) (1/x) nicht. (Habe kurz nicht nachgedacht). Die Idee sollte aber klar sein.

Besser:

Da für x > 0 auch exp(x) > 1 gilt, folgt also für

x > 0: (exp(x) / x) > (1/x) —> inf, für 0 < x —> 0.

Damit auch lim (0 < x—> 0) exp(x) / x = inf.

Damit ist lim (x—>0) f(x) = f(0) ist nicht erfüllt und f in 0 unstetig.

@Herbstitimm Hast du zufällig was bei der Aufgabenstellung in a) vergessen?

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Ja bei a) stand: Zeige das f für x ≠ 0 stetig ist und bei c) fehlte das ,,nicht‘‘. Tut mir leid, das ich euch verwirrt habe

Answer 1

Hallo.

Korrigierete Version (Die unteren Kommentare ignorieren):

Zuerst einmal war die Aussage ,,trivial‘‘ falsch ausgedrückt. Ich glaube du hast die Aufgabe falsch abgeschrieben. Bei a) habe ich oben das Problem erwähnt. Bei c) habe ich auch selber ein Fehler gemacht. f ist für kein kompates Intervall [0,b] Riemann-integrierbar. Siehe hier nochmal die neue Version meines Kommentars (Bitte auch meine weiteren Kommentare unten ignorieren!):

a) war ja bei dir falsch. Siehe oben mein letzten Kommentar dazu…

Bei b) musst du zeigen, das das Integral von exp(x) / x von 0 bis inf, divergiert.
Es reicht schon zu zeigen, das das Integral zu exp(x) / x von 1 bis inf, divergiert. Das kannst du mit dem Integraltest machen. Zeige dafür das die Reihe
Σ exp(n) / n, divergiert (d.h. Σ exp(n) / n = inf). Um das zu zeigen nutze den Vergleichstest, überlege doch mal wie du die Folge exp(n) / n nach unten abschätzen kannst. Da sollte man eigentlich schnell darauf kommen :)

Jedoch könnte man ja hier bestimmt aber auch mit lim (x—>inf) exp(x) / x = inf, argumentieren. Um das zu zeigen, nutze die Exponentialreihe und schätze es durch einen divergenten Summanden nach unten ab.

Bei c) beachte, das bereits die Funktion x ~> 1/x schon gar nicht in der Nähe von 0, Riemann-integrierbar ist. Das Integral von exp(x) / x  in den Grenzen 0 bis b divergiert also nach dem Vergleichstest, wegen der Abschätzung (exp(x) / x) > (1/x) und da wie gesagt das Integral von 0 bis b von x ~> 1/x eine divergente Minorante davon ist.

Comments

Also bei b) gilt dann exp(n) > 1 und damit exp(n) / n > 1/n. Dann kann man das mit der Reihe folgern.

Und bei c) habe ich dann die Reihe

 Σ x^n / n*n! als das unbestimmte Integral von exp(x) / x. Das ist ja fast die Exponentialreihe welche absolut konvergiet.

Richtig?

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Genau. Nochmal zusammengefasst:

Bei b) hast du dann eben insgesamt die Abschätzung Σ exp(n) / n > Σ 1/n = inf
was dann Σ exp(n) / n = inf, zeigt.
Damit wärst du nach dem Integraltest fertig und hättest gezeigt, das das Integral von exp(x) / x in den Grenzen 1 bis inf, auch unendlich ist. Also auch das grössere Integral aus der Aufgabe von 0 bis inf.

c) stimmt die Reihe auch.
Dad Integral der Funktion von 0 bis b auf ist dann die Reihe Σ b^n / n*n! und dann gilt nämlich die Abschätzung
Σ b^n / n*n! < Σ b^n / n! = exp(b) < inf, was die Aussage nach dem Vergleichstest zeigt.

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Ich danke sehr

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Σ bⁿ / n*n! < Σ bⁿ / n! = exp(b) < inf

Unsinn.

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Wieso?

Es gilt n*n! > n! für n > 1 und deswegen dann auch 1/ n*n! < 1 / n!. Auf beiden Seiten die positive Zahl b^n > 0 multiplizieren, liefert b^n / n*n! < b^n / n! und das für alle n > 1.

Also gilt das auch für die Reihe…

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Sieht so aus, als hättest du sicherheitshalber bei deinem exp(x) / x = Σ x^(n-1) / n! doch lieber nicht auf das Aufschreiben des Laufindex' verzichten sollen.

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Was genau ist denn deiner Meinung nach jetzt falsch daran? Übrigens sprechen wir hier von einer Reihe und keine Folge.

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Ich frage auch mal hier nach dem beweis für a

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Ist doch trivial. ;)

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Ich habe auf a) gar nicht geachtet. f ist für x = 0 unstetig. Habe oben ein Kommentar dazu geschrieben.

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Das Wort ,,trivial‘‘ bezog sich übrigens auf b) und c). Ich hatte mir ja a) beim FS nicht genau angeschaut, da ich davon ausging, das es im klar war.

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Das Wort ,,trivial‘‘ bezog sich übrigens auf b) und c).

Was meinst du damit ?

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Das war falsch ausgedrückt. Es war eigentlich für b) gemeint, da es ja eigentlich nur diese kurze und offentsichtliche Abschätzung ist. Habe mein ursprünglichen Kommentar bearbeitet. Ich denke der FS hat übrigens die Aufgabe falsch abgeschrieben.

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Ich denke der FS hat übrigens die Aufgabe falsch abgeschrieben.

was wohl ziemlich offensichtlich ist und was du zum Anlass nehmen solltest nun endlich auf meine obigen Hinweise einzugehen und deine Antworten zu revidieren.

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tut mir leid. Ich habe das falsch abgeschrieben

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@hj266 Ja das habe ich vorhin gemacht. Danke dir!

@herbstitimm Ja das kann passieren. Nur achte darauf, denn du siehst, das soetwas auch den Helfer verwirren kann. Vorallem bei Aufgabe c) war mir schon klar, das da ein Haken dran ist, nur hat die falsche Aufgabenstellung mich eben in die falsche Seite gelenkt.

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Damit hätte sich die Trivialität dann wohl in Luft aufgelöst. :)

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,,Trivial‘‘ war etwas übertrieben :)

Jedoch ist die Aufgabe trotzdem nicht besonders und etwas unnötig. b) war ja nicht das Problem, sondern c), wobei witzigerweise c) eigentlich eine Analogie zu b) ist. Es lag eben daran das ich selber wegen der falschen Aufgabenstellung verwirrt war und deswegen einen falschen Lösungsweg entwickelt habe. Man könnte hier eigentlich b) und c) auch zusammentun.

Bei a) war ja anscheinend nicht einmal gefordert die Stetigkeit in x = 0 zu untersuchen.

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Ich weiß nicht, was diese komplizierte Antwort soll. Abakus hat doch eingangs alles in einem Satz geklärt??

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Vielleicht hat sich der Fragesteller von den eingegangnen Kommentaren beeinflussen lassen und die Aufgabentexte geändert anstatt diese so zu lassen wie sie waren und stattdessen f in f(x) = (e^x-1)/x zu ändern.

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Das war auch meine erste Vermutung.

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@hj166 ich habe abakus Antwort nicht gesehen. Meine Antwort war ja auch davor.