Hypothese zu Wert der Kettenwurzel z=√(1+2√(1+3√(1+4√(.....)))) aufstellen und beweisen.

Question

Vorausgesetzt sei, dass die Zahl z=√(1+2√(1+3√(1+4√(.....)))) existiert. Stellen Sie eine Hypothese zur Größe von z auf und beweisen Sie diese.

Comments

Warum nennst du das Kettenbruch? Ich sehe keinen Bruchstrich.

EDIT: Bitte von Anfang an aussagekräftige Überschriften.

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Hallo Lu, du hast recht, das ist kein Kettenbruch. Ich habe es inzwischen verbessert. Zu deiner zweiten Verbesserung meiner Überschrift: Eine Hypothese wird meiner Meinung nach nicht gezeigt, sondern bewiesen oder widerlegt.

Answer 1

Die Konvergenz dieses "nested radical" wurde von Ramanujan untersucht. Mithilfe grober Abschätzungen gewinnt man die Idee \(z=3\).  Dann könnte man so beginnen:

$$\begin{aligned} 3 &= \sqrt{9} \\&= \sqrt{1 + 8} \\&= \sqrt{1 + 2 \cdot 4} \\&= \sqrt{1 + 2 \cdot \sqrt{1 + 3 \cdot \sqrt{25}}} \\&= \dots\end{aligned} $$

Quelle mit vielen weiteren Betrachtungen und Verweisen:
https://math.stackexchange.com/questions/7204/evaluating-the-nested-radical-sqrt1-2-sqrt1-3-sqrt1-cdots

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Coole Aufgabe!