Umrechnung Rad <-> Grad

Question

Es geht um die Umrechnung Rad <-> Grad:

2π rad=360°

x rad=x*(180°/π)

1.) Wieso gilt, dass 2π rad=360°?

2.) Was hat das: x rad=x*(180°/π) zu bedeuten?

zum Beispiel für x=2:

2 rad=2(180°/x rad=x*(180°/π)?

3.) Vielleicht könnt ihr mir noch ein Beispiel geben für sin cos mit der Umrechnung...

Answer 1

Hallo Probe,

1.) Wieso gilt, dass 2π rad=360°?

In einer Kreisdarstellung ist das Bogenmaß eines  Winkels der Quotient aus der Länge des zugehörigen Kreisbogens und dem Radius:    

Bogenmaß x = Bogenlänge des Winkels/ Kreisradius

Für 360° ist das der Umfang des Kreises = 2π * r / r   = 2π  (rad, das kann auch entfallen, denn das Bogenmaß ist eine reine Zahl ) 

2.) Was hat das: x rad=x*(180°/π) zu bedeuten?

      Für Umrechnungen kann nicht auf beiden Seiten x stehen      [ vgl. Kommentare ]

 α im Gradmaß,  x im Bogenmaß

           α / 360° =  x /  (2π)   →   x = α * π / 180°        bzw.    α =  x * 180° / π

zum Beispiel für x=2:   2 rad=2(180°/x rad=x*(180°/π)?

vgl. oben

> noch ein Beispiel geben für sin cos mit der Umrechnung... 

α = 90°  →  x = π/2   im Bogenmaß  

sin(90°)  in TR-Einstellung DEG   = sin(π/2) in TR-Einstellung RAD  =  1 

Gruß Wolfgang   

Comments

2.) Was hat das: x rad=x*(180°/π) zu bedeuten?
es kann nicht auf beiden Seiten x stehen

Ich denke es kann

π rad = π*(180°/π)
π rad = 180°

Und das ist ja richtig.

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Stimmt, danke für den Hinweis (dachte nur an Umrechnngen)

wegen  π (rad)  = 180°   →   1 (rad)  = 180° / π   →  x (rad)  =  x · 180° / π

Aber irgenwie bringt die Gleichung natürlich nicht viel.

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Wenn ich weiß, dass α = 90°  und  x = π/2.

Bedeutet das, dass sin(90)=1 für Gra und sin(90)=1 für Rad?

Also wenn man das im Taschenrechner eintippt?

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> Bedeutet das, dass sin(90)=1 für Gra und sin(90)=1 für Rad?

Vorsicht, für DEG ,  

GRA(D) bedeutet beim TR  eine Einteilung des Vollkreises in 400 "gon", diese Einstellung des TR vergisst du am besten :-)

Man muss aber dann sin(90°) schreiben.

Bei sin(reine Zahl)  bedeutet die Zahl immer das Bogenmaß.

Wenn der TR in DEG steht, "denkt " er sich aber immer ° 

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sin(90°) = sin(pi/2) = 1

Beim Taschenrechner wird in der Regel bei der Eingabe das ° Zeichen weggelassen, wenn der Taschenrechner ins Gradmaß gestellt wird.

Soll im Bogenmaß gerechnet werden ist der Taschenrechner auch vorher ins Bogenmaß umzustellen.

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Vielleicht kann jemand kurz rüberschauen.

Wenn es um Bogenmaß geht, geht es um Rad. Wenn es um Gradmaß geht, geht es um Grad.

Wenn es um α=50 geht:
50 rad = 50 * (180°/π)

50 rad=5π/18

sin(50°)=0,77=-0,26

?

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wegen  π (rad)  = 180°   →   1 (rad)  = 180° / π   →  x (rad)  =  x · 180° / π

Genau so in der Art steht das bei mir. Für die Umrechnung bringt mir das aber nicht oder?

Das hier genügt eigentlich oder?:  x = α * π / 180°        bzw.    α =  x * 180° / π

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Du solltest daran arbeiten korrekt zu notieren

Eine Zeile wie "0,77=-0,26" verursacht bei mir ein Schauern.

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50° = 50·pi/180 = 5/18·pi

SIN(50°) = 0.7660

SIN(50 (rad)) = -0.2624

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Answer 2

Bei einer Angabe eines Winkels in Grad 
wurde für den Vollkreis von 360 °
ausgegangen.
Dies ist historisch von den Sumeren
begründet.

Bei einer Angabe eines Winkels im Bogenmass
wird für den Vollkreis von der Länge
des Kreises ausgegangen. 2 * π = 6.28

Die Umrechnung ist ein einfacher Dreisatz
( Angabe in Bogenmass ) verhält sich zu 2 * π
wie   ( Angabe in Grad ) zu 360.

rad / ( 2 * π ) = grad / 360

Beispiel grad = 30
rad / ( 2 * π ) = 30 / 360
rad = 0.524