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Aufgabe:

a) Geben Sie die Seitenlängen und Winkel des Dreiecks im Quader an.

b) Wie viele Dreiecke im Quader gibt es, die zu dem gezeichneten Dreieck kongruent sind?

c) Zeichnen Sie den Quader und tragen sie die Dreiecke BHE und ABH ein. Wie groß sind die Winkel dieser Dreiecke?

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zeichne dir das Dreieck \(ABC\) noch mal extra auf:

Bild Mathematik

Das Dreieck ist rechtwinklig und demnach besteht nach dem Satz des Pythagoras ein Zusammenhang zwischen den Katheten und der Hypotenuse des Dreiecks. Es gilt (alle Masse in cm)

$$AC^2= a^2 + b^2 \quad \Rightarrow \space AC=\sqrt{a^2+b^2}= \sqrt{8^2+10^2}=\sqrt{64 +100}=\sqrt{164}\approx12,8$$

Als nächstes zeichne Dir das Dreieck \(ACE\) ebenfalls auf

Bild Mathematik

auch hier findest Du ein rechtwinkliges Dreieck. Es gilt

$$EC^2 = AC^2 + c^2 \quad \Rightarrow \space EC=\sqrt{164+6^2}=\sqrt{200} \approx 14,1$$

Den grünen Winkel \(\alpha\) bei \(C\) kann man über den Tangens bestimmen. Es gilt Tangens gleich Gegenkathete zu Ankathete:

$$\tan( \alpha ) = \frac{c}{AC} \quad \Rightarrow \space \alpha = \arctan(\frac{c}{AC}) = \arctan{\frac{6}{12,8}} \approx 25,1°$$ den gelben Winkel \(\beta\) beim Punkt \(E\) bekommt man über die Winkelsumme des Dreiecks

$$\beta = 180° - 90° - 25,1° = 64,9°$$


zu b) Die 8 kongruenten Dreiecke findest Du, indem Du in die Ober- und Unterseite des Quaders jeweils die Flächendiagonale (s. 4 roten Strecken) einzeichnest und auf jede Flächendiagonale kann man zwei Dreiecke 'stellen'.

Bild Mathematik

ich habe Dir beispielhaft die beiden Dreiecke auf \(AC\) eingezeichnet.


zu c) den Winkel \(BHE\) (grün) bekommst Du wieder über den Tangens, da der Winkel \(HEB\) beim Punkt \(B\) ein rechter ist.

Bild Mathematik

Es gilt

$$\tan(BHE) = \frac{BE}{HE}$$

\(HE=b\) und \(BE=\sqrt{a^2 + c^2}\) also ist

$$BHE = \arctan\left( \frac{\sqrt{a^2 + c^2}}{b} \right) = \arctan\left( \frac{\sqrt{8^2 + 6^2}}{10} \right) = 45° $$

und \(ABH\) überlasse ich Dir - zur Kontrolle: \(ABH\approx 58,0°\)

Gruß Werner

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a)

Kante: c

Flächendiagonale: √(a² + b²)

Raumdiagonale: √(a² + b² + c²)

Winkel ∠CAE: 90°

Winkel ∠ECA: TAN^{-1}(c / √(a² + b²))

Winkel ∠AEC: TAN^{-1}(√(a² + b²) / c)

b)

Ich würde mal denken es gibt 8 kongruente Dreiecke.

c)

Schaffst du dann selber oder?

Winkel werden wieder z.b. mit dem Arkustangens berechnet.

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