Ein Quader, dessen Seitenlängen ein Verhältnis von 1:2:4 aufweisen,....

Question

Aufgabe:

a) Welchen Winkel schließen die Vektoren (3 4 2 )und (-1 2 3 )miteinander ein?

b) Ein Quader, dessen Seitenlängen ein Verhältnis von 1:2:4 aufweisen, enthalte den Koordinatenursprung als einen Eckpunkt. Welchen Winkel schließen die vom Koordinatenursprung ausgehenden Flächendiagonalen mit der vom Koordinatenursprung ausgehenden Raumdiagonalen ein?

Problem/Ansatz:

Ich versteh leider teil b) nicht kann mir jemand bei der Lösung helfen.

Danke

Answer 1

Hallo,

bezeichnet man die kleinste Seitenlänge des Quaders mit x, so betragen die beiden anderen 2x bzw. 4x (man könnte wegen der Ähnlichkeit solcher Quader sogar auf x verzichten, weil sich bei der Winkelberechnung x am Ende wegkürzt)

Jede der 3 vom Ursprung O ausgehenden Flächendiagonalen f₁ , f₂ und f₃  schließt mit der Raumdiagonalen r  ein rechtwinkliges Dreieck ein (für f₁ ist der rechte Winkel eingezeichnet). Die Raumdiagonale ist jeweils die Hypotenuse, liegt also jeweils dem rechten Winkel gegenüber.

Für die Länge der Flächendiagonalen f₁ gilt nach Pythagoras \(f_1=\sqrt{(4x)^2+x^2}=\sqrt{17x^2}=x·\sqrt{17}\)

Für den Winkel zwischen f₁ und r gilt z.B.
\( tan(α_1) = \dfrac{2x} { x·\sqrt{17} }=\dfrac{2} {\sqrt{17}}  \)  →  α₁ = 25,9°
Gruß Wolfgang

Answer 2

Ich denke mal, dass man in einem geeigneten kartesischen Koordinatensystem

die Ecken angeben kann:

Boden:  A(0;0;0)  B( 1;0;0) C(1 ; 2 ; 0 ) und D(0;2;0)

Deckel entsprechend mit 3. Koordinate 4.

Dann kannst du ja einfach die Winkel ausrechnen.

Answer 3

Da der Aufgabenteil a) ja bereits mit Vektoren gerechnet wird. Denke ich es geschickt, wenn man mal bei der Berechnung über die Vektoren bleibt. Denn das soll hier sicher trainiert werden.

Die drei Winkel der Raumdiagonale mit jeweils einer Flächendiagonale.

ARCCOS([1, 2, 4]·[1, 2, 0]/(ABS([1, 2, 4])·ABS([1, 2, 0]))) = 60.79°

ARCCOS([1, 2, 4]·[1, 0, 4]/(ABS([1, 2, 4])·ABS([1, 0, 4]))) = 25.88°

ARCCOS([1, 2, 4]·[0, 2, 4]/(ABS([1, 2, 4])·ABS([0, 2, 4]))) = 12.60°