Vollständige Induktion Summe 2*k = n^2+n

Question

Den Induktionsanfang mit n=1 hab ich gemacht. das wäre die summe von 2 bis 2. 2*2=4=3*1^2+1.  => das passt

beim induktionsschritt hab ich aber probleme. ich bin es gewohnt, dass es nur bis n geht und dann macht man daraus n+1 und verwendet die induktionsVorausetzung.

kann mir da bitte jemand helfen

ich dachte jetzt an 2n+1. aber eingesetzt komme ich nicht auf das gewünschte ergebnis zum schluss 3*(n+1)^2+n+1

Comments

Löse vielleicht bei 3*(n+1)²+n+1 mal die Klammern auf und vereinfache diesen Term. Dann weisst du besser wohin du kommen musst mit deiner Umformung der linken Seite der Behauptung. 

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das hatte ich auch schon versucht, aber ich kam dann auch nicht zum ziel

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Hast du die Antworten gesehen?

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ja blos verstehe ich nicht wieso man den einen summanden subtrahiert

Answer 1

Hallo Ahima,

mache den Übergang von \(n\) nach \(n+1\) dann kommen in der Summe 2 neue Summanden hinzu (für \(k=2n+1\) und für \(k=2n+2\)) und einer verschwindet (der für \(k=n+1\)):

$$\sum_{k=(n+1)+1}^{2(n+1)} 2k= \left( \sum_{k=n+1}^{2n} 2k \right)\space + 2(2n+1) + 2(2n+2) - 2(n+1)$$

$$ \space = 3n^2 + n \space + 6n + 4 = 3(n^2 + 2n + 1) + n + 1 = 3(n+1)^2 + (n+1)$$

q.e.d.

Comments

das -2(n+1) kommt woher zu stande?

die überlegung hatte ich nämlich auch aber kam nicht darauf wieso man was abziehen muss

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vielen liebend dank! hab so viel rumprobiert :)

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@Ahima: Unter dem Summenzeichen steht ja zu Beginn nicht mehr n+1 sondern bereits n+2. D.h. die neue Summe beginnt Eins später als die alte Summe. Wenn du nun das Resultat der alten Summe verwenden willst, musst du den ersten (überflüssigen) Summanden subtrahieren.

Answer 2

Für den Ind. schritt musst du ja die Summe

Summe von k=n+2 bis 2n+2 betrachten

Damit du die Ind.vor brauchen kannst vielleicht so

=     -2(n+1) + Summe von k = n+1 über 2k  +  2(2n+1) + 2*(2n+2)

und in der Mitte die Ind. vor anwenden gibt

=     -2(n+1) + 3n² + 2(n+1)  +  2(2n+1) + 2*(2n+2)

und dieses mal zusammenfassen und schauen, ob das gleiche rauskommt wie

bei   3(n+1)² + 2 (n+1)

Passt, ich bekomme bei beiden 3n² + 7n + 2.