Stochastik - Kartenspiel (52 Karten)

Question

ich bearbeite gerade folgende Aufgabe:

Ein Kartendeck mit 52 Spielkarten wird gut gemischt und die Karten werden nacheinander angezeigt, bis das erste Ass erscheint. Ist es wahrscheinlicher, dass die nächste Karte das Pik-Ass oder die Herz-Zwei ist?

Ich dachte die Wahrscheinlichkeit als nächste Karte ein Pik-Ass oder die Herz-Zwei zu ziehen wäre 4/52.

Aber ich bin mir nicht sicher wie ich die Aufgabe lösen soll (Ich denke man muss hier die Hypergeometrische Verteilung

anwenden). Daher wäre ich sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte!

lg

Comments

Normalweise besteht ein Kartenspiel
aus 32 Karten.
Falls es mit den 52 Karten stimmt
was sind dies denn für Karten ?

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was sind dies denn für Karten ? 

ist das für die aufgabe nicht egal?

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also ich habe die Aufgabenstellung exakt abgeschrieben. Es wurde nicht explizit gesagt um welches Kartenspiel es sich also handelt..

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Ja, weil es auch egal ist. Deswegen erschließt sich mir georgborns nachfrage nicht. Kläre uns auf.

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Wieso jeweils 4/52 ? Eine Ass-Karte wurde doch schon gezeigt

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Man müsste schon wissen , ob die Karte zurückgelegt wird und ob es sich um ein übliches Kartendeck handelt

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@georg
https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_Kartenspiele_nach_Kartenanzahl_geordnet#Spiele_mit_52_Karten :-)

Ein Kartendeck mit 52 Spielkarten wird gut gemischt und die Karten werden nacheinander angezeigt, bis das erste Ass erscheint. Ist es wahrscheinlicher, dass die nächste Karte das Pik-Ass oder die Herz-Zwei ist? 

Ist die Fragestellung eventuell ein wenig schwammig formuliert? Denn:

Wenn das erste Ass erscheint und es nicht das Pik-Ass ist, wie viele Zweier wurden vorher angezeigt? Wie viele Karten wurden überhaupt schon angezeigt? Etc. ... :-/

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Wenn das erste Ass erscheint und es nicht das Pik-Ass ist, wie viele Zweier wurden vorher angezeigt? Wie viele Karten wurden überhaupt schon angezeigt? Etc. ... :-/

Und vor allen Dingen :  Welches ist die nächste Karte ?

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Und vor allen Dingen :  Welches ist die nächste Karte ?

Das ist eine Unbekannte x ⇒ löse auf nach x.

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Jetzt mal zurück zum Thema: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Pik-As bis zum Stopp noch nicht aufgedeckt wurde, beträgt doch wohl 3/4 oder? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Herz-Zwei noch nicht aufgedeckt wurde?

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@physx
also ich habe die Aufgabenstellung exakt abgeschrieben.

So kann ich gar nichts berechnen.
Ich müßte die Zusammensetzung des
Kartenspiels wissen.

Üblich ( dürfte aber bekannt sein )
7,8,9,10,As,Bube, Dame, König
in 4 Farben = 32 Karten

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Ebenfalls "üblich" (Rommé und  Canasta (ohne Joker), weltweit beim Poker und anderen Casino-Spielen):

2, 3 .... 10, B, D, K, A

Wo sollte sonst die Herz-2 herkommen?

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Meine Überlegungen waren folgende. Allerdings komme ich dadurch zu unrealistischen Ergebnissen, nämlich dass die Wahrscheinlich p, dass die nächste Karte eine Herz-2 ist, 14893/92858675 ≈ 1.6038·10^-4 beträgt.

A sei die Anzahl der Karten, die aufgedekt werden müssen, bis das erste Ass erscheint. Dann ist

    P(A = n) = 4/(52-(n-1)) · ∏_k=1..n-1 (52-4-(k-1)) / (52-(k-1)).

Sei Z_n das Ereignis "Unter n ausgewählten Karten, von denen genau eine ein Ass ist, befindet keine Herz-2". Dann ist

    P(Z_n) = Bin(52-4, n-1)/ Bin(52-3, n).

Für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B_n "die Anzahl der aufzudeckenden Karten beträgt n und die Herz-2 wurde bis dahin noch nicht aufgedeckt" gilt also

    P(B_n) = P(A = n)·P(Z_n).

Die Wahrscheinichkeit des Ereignisses H_n, dass nach Aufdecken von n Karten die nächste Karte eine Herz-2 ist, beträgt also

        P(H_n) = P(B_n)·P(A=n)·1/(52-n).

Summiert man über alle n, dann bekommt man die Wahrscheinlicheit p, dass die nächste Karte eine Herz-2 ist:

        p = ∑_n=1..52-4 P(H_n)

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Allerdings komme ich dadurch zu unrealistischen Ergebnissen

Dann mache es doch ohne den ganzen Formelkram.

Mische die 51 unkritischen Karten so gut du möchtest.
Stecke die letzte, kritische Karte an irgendeine Stelle des Stapels, vor die erste , ... hinter die letzte. Jede dieser 52 Positionen ist gleich wahrscheinlich, aber nur eine einzige Position ist hinter dem ersten Ass und zwar völlig egal, welches die kritische Karte ist und völlig egal, ob das Kartenspiel 4 oder 17 Asse enthält. Und (an Georg): Dass die beiden Wahrscheinlichkeiten gleich groß sind, gilt auch für ein Skatspiel (wenn man Herz 2 durch Herz 7 ersetzt) und gilt auch für ein Spiel mit den vier Karten A1, A2, B und C (zum Aufschreiben aller 4! Anordnungen und Nachrechnen per Hand).

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"Die Wahrscheinichkeit des Ereignisses H_n, dass nach Aufdecken von n Karten die nächste Karte eine Herz-2 ist, beträgt also

 P(H_n) = P(B_n)·P(A=n)·1/(52-n)."

Wolfgang? Könntest du noch erklären warum diese Formel nicht P(H_n) = P(B_n)·1/(52-n) lauten würde? Ich weiß nämlich nicht, woher das P(A=n) kommen soll.

MfG Nap

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Ich habe vielleicht eine neue Idee:

Wenn ich mich nicht irre, dann liegt die Wahrscheinlichkeit eine Herz-Zwei Karte zu ziehen bei 1/51.

Die Wahrscheinlichkeit nun eine Pik-Ass Karte zu ziehen wäre: 3/4*1/52= 1/68. (Die 3/4 daher, dass das gezogene Ass kein Pik-Ass ist).

Somit wäre es wahrscheinlicher die Herz-Zwei zu ziehen.

Answer 1

Eigentlich kannst du alle anderen Karten bis auf die Asse und die Herz 2 entfernen. Die spielen hier ja keine Rolle

Kreuz-Ass, Pik-Ass, Herz-Ass, Karo-Ass, Herz-Zwei

Wie viele Reihenfolgen dieser Karten gibt es wenn wir die Asse, außer dem Pik-Ass nicht unterscheiden können?

Das sollten 20 Möglichkeiten sein.

A A A PA H2 - PA
A A PA A H2 - PA
A A PA H2 A - PA
A PA A A H2 - PA
A PA A H2 A - PA
A PA H2 A A - PA
PA A A A H2 - H2
PA A A H2 A - H2
PA A H2 A A - H2
PA H2 A A A - H2

A A A H2 PA - H2
A A H2 A PA - H2
A A H2 PA A - H2
A H2 A A PA - H2
A H2 A PA A - H2
A H2 PA A A - H2
H2 A A A PA - PA
H2 A A PA A - PA
H2 A PA A A - PA
H2 PA A A A - Kein Pik-Ass und keine Herz-2 nach dem ersten Ass

Bei 9/20 kommt nach dem ersten Ass, das Pik-Ass zuerst. Bei 10/20 kommt nach dem ersten Ass die Herz-2 und bei 1/20 kommt nach dem ersten Ass weder das Pik-Ass noch die Herz-2.

Also ist die Wahrscheinlichkeit für die Herz 2 höher.

Comments

Bei deiner Auflistung zähle ich  4/20 ,  4/20 ,  12/20

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Nach dem ersten Ass hält man nur Ausschau nach dem Pik-Ass und der Herz-2. Sollte nach dem ersten Ass also erstmal ein Herz-Ass fallen ist dies völlig irrelevant.

Ich habe mit Bindestrich hinter die Aufzählung geschrieben ob das Pik-Ass oder die Herz-2 zuerst nach dem ersten Ass fällt.

Nur im letzten Fall kommt nach dem ersten Ass (dem Pik-Ass) natürlich weder das Pik-Ass noch die Herz-2.

Denkst du meine Zählweise ist verkehrt?

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Du hast die Aufgabenstellung nicht vollständig gelesen oder falsch interpretiert :

Es heißt  " dass die nächste Karte das Pik-Ass oder die Herz-Zwei ist "  ,  nicht " irgendeine spätere Karte "

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Ah. Ich verstehe was du meinst. Ja. Das habe ich vermutlich dann falsch interpretiert.

Answer 2

Die Wahrscheinlichkeit für ein Ass beliebiger Farbe ist ja 4/52.

Nachdem das erste Ass gezogen wurde gibt es noch 51 Karten.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/4 wurde Pik Ass aber schon gezogen bzw. 3/4 das sie noch da ist.

Also gilt für die nächste Karte:

pik-ass: 3/4 * 1/51

herz zwei: 1/51

->

herz-zwei ist wahrscheinlicher