Formel einer dreiseitigen Pyramide von der Formel für die des Tetraeders ableiten

Question

Moin

Ich bräuchte Hilfe bei der folgenden Frage: Wie leitet sich die Formel für das Volumen einer dreiseitigen Pyramide:                    V= 1/6*(ABxAC)*AD  ,aus der allgemeinen Formel des Volumens eines Tetraeders: V= 1/3*G*h her?

Nun weiß ich schon, dass sich die Grundfläche mit der Formel 1/2*(ABxAC) berechnen lässt und somit aus 1/3*G sich 1/6*(ABxAC) bildet. Nur leider kann ich keinen Zusammenhang zwischen der Höhe h und dem Skalarprodukt zu AD herleiten.

Was bedeutet denn das Ergebnis wenn man ein Skalarprodukt bestimmt hat?

Answer 1

Nun weiß ich schon, dass sich die Grundfläche mit der Formel 1/2* | (ABxAC)| (hier die Betragsstriche nicht vergessen!) berechnen lässt und somit aus 1/3*G sich 1/6*(ABxAC) bildet. Nur leider kann ich keinen Zusammenhang zwischen der Höhe h und dem Skalarprodukt zu AD herleiten.

(ABxAC) ist ein Vektor, der senkrecht auf der Grundfläche steht. Beim Skalarprodukt mit AD kommt die Projektion von AC auf (ABxAC) ist Spiel und damit die Höhe des Spats. 

 https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt#Veranschaulichung