Beispiel für quantifizierte Aussageformel 1) ∃x: P(x) ∨ ∃ Q(x) ≡ ∃x: (P(x) ∨ Q(x)), …

Question

ich habe leider ein kleines Verständnisproblem bei folgendem Beispiel:

Ich habe zwei Aussagen gegeben:

1) ∃x: P(x) ∨ ∃ Q(x) ≡ ∃x: (P(x) ∨ Q(x))

2) ∀x: P(x) ∨ ∀x: Q(x) ⊢ ∀x: (P(x) ∨ Q(x))

Jetzt soll ich diese Aussagen mithilfe von anschaulichen Beispielen erklären.
So, jetzt habe ich einfach einmal gesagt, dass x alle Autos in einem Parkhaus beschreibt und P(x) bedeutet, dass das Auto x blau ist. Q(x) sagt aus, dass Auto x ein Audi ist. Im ersten Fall würde das dann ausgeschrieben bedeuten: Es gibt (mindestens) ein Auto, das blau ist, oder es gibt (mindestens) ein Auto, das ein Audi ist. Dies muss mit der Aussage, dass es mindestens ein Auto gibt, das blau oder ein Audi ist, äquivalent sein. Soweit ist mir alles klar.

Problematisch ist das zweite: Hier würde ich sagen, dass für alle Autos x gilt, dass sie blau sind, oder dass für alle Autos gilt, dass sie ein Audi sind. Folglich gilt für alle Autos x, dass sie blau sind oder ein Audi sind. Warum sind diese Varianten eigentlich nicht äquivalent? Ich hoffe, dass mir das jemand anschaulich erklären kann, weil ich hab da irgendwie eine Vorstellungsblockade...

und noch einen schönen Tag!

PS.: Was bedeutet eigentlich das Zeichen ⊢ genau?

Answer 1

> Was bedeutet eigentlich das Zeichen ⊢ genau?

Ich hole dazu ein wenig aus.

Gegeben sind zwei Formeln A(x₁, ..., x_n) und B(x₁, ..., x_n).

A(x₁, ..., x_n) |= B(x₁, ..., x_n) bedeutet "Jede Belelgung der Variablen x₁, ..., x_n, die A(x₁, ..., x_n) wahr macht, macht auch B(x₁, ..., x_n) wahr. Das Zeichen "|=" ist also ein semantisches Zeichen, da es die Bedeutungen der Formeln (d.h. die Wahrheitswerte unter bestimmten Variablenbelegungen) vergleicht. Es heißt semantische Folgerung.

Im Gegensatz dazu liegt dem Zeichen "⊢" eine Menge von Regeln zugrunde, die sagen, wie Formeln aus anderen Formeln erzeugt werden dürfen. Eine solche Menge von Regeln wird Kalkül genannt. A(x₁, ..., x_n) ⊢ B(x₁, ..., x_n) bedeutet "Die Formel B(x₁, ..., x_n) kann aus der Formel A(x₁, ..., x_n) mithilfe der Regeln des Kalküls erzeugt werden". Der Kalkül geht dabei nicht auf Wahrheitswerte ein, sondern arbeitet ausschließlich auf der syntaktischen Ebene. Das Zeichen "⊢" heißt deshalb syntaktische Folgerung.

Es wäre wünschenswert, wenn A(x₁, ..., x_n) |= B(x₁, ..., x_n) genau dann gelten würde, wenn A(x₁, ..., x_n) ⊢ B(x₁, ..., x_n) gilt. Für die Aussagelogik und die Prädikatenlogik erster Stufe gibt es dazu noch geeignete Kalküle, für Prädikatenlogik höherer Stufe leider nicht mehr.

Comments

Danke oswald für deine Erklärung!

Ich will dich zwar nicht weiter stören, aber kannst du auch die 2. Aussage anschaulich erklären (mit den Autos^^). Muss das nämlich in so einer Form im Unterricht erklären, bin mir aber immer noch nicht ganz sicher, wie ich das machen soll...