Zeige, dass die folgende WFF nicht allgemeingueltig ist: ∃x P(x) ∧ ∃x Q(x) -> ∃x [P(x) ∧ Q(x)]

Question

Zeigen Sie dass die folgende WFF nicht allgemeingueltig ist, indem Sie eine geeignete Interpretation angeben:

∃x P(x) ∧ ∃x Q(x) -> ∃x [P(x) ∧ Q(x)]

Answer 1

einfaches Beispiel:

P(x) : "x ist gerade".

Q(x) : "x ist ungerade".

Es existiert zwar ein x, sodass P(x) gilt, es existiert auch ein x, sodass Q(x) gilt, allerdings existiert kein x, sodass sowohl P(x) als auch Q(x) gilt, mit anderen Wortenkann ein x nicht zugleich gerade und ungerade sein.

MfG

Mister

Answer 2

P(x) sei x = 7^n mit n≥1 Element IN

Q(x) sei x = 3^n mit n≥1 Element IN

P(7) ist wahr. Daher ∃x P(x), nämlich x=7.

Q(9) ist wahr. Daher ∃x Q(x), nämlich x = 9.

Aber es existiert keine Zahl die P und Q gleichzeitig erfüllt.

Comments

Diese Antwort ist ihrem Wesen nach übrigens äquivalent zu allen Antworten, die die Existenz von Primteilern in der Zahl x betreffen.

Eine Zahl kann nicht ausschließlich 3 und ausschließlich 7 zugleich als Primteiler haben.

Eine Zahl kann nicht 2 als Primteiler haben und zugleich 2 nicht als Primteiler haben.