Korrekte Schreibweise für das Wurzelziehen als Äquivalenzumformung (Plus-Minus-Wurzel)

Question

Bisher hatte ich die Äquivalenzumformung beim Wurzelziehen wie folgt notiert:

$$ x^2 = 9  \quad | \pm \sqrt{ \quad }  \\\sqrt{x^2} = \pm \sqrt{9}  \\x_{1,2} = \pm 3  \\x_1 = +3 \\x_2 = -3 $$

Mir ist bewusst, dass ich das Plus-Minus eigentlich auf beiden Seiten anwenden müsste. Unterschlage dies aber beim √x². Der didaktisch angenehme Effekt, wenn man ±√ schreibt, ist jedoch, dass sich der Schüler bewusst wird, dass es nicht nur ein Ergebnis gibt.

Nun meine Frage: Wie schreibt ihr diese Umformung korrekt? Habt ihr ggf. noch einen Tipp, wie es besser machbar wäre?

Answer 1

Man kann es z.B mit dem Betrag schreiben:

$$  x^2=9|\sqrt{}\\\sqrt{x^2}=3\\|x|=3\\x_{1}=3\\x_{2}=-3$$

Oder man nimmt die dritte binomische Formel, da braucht man keine Wurzeln:

$$ x^2-9=0\\(x+3)(x-3)=0 $$

Nun Nullstellen ablesen.

Comments

Deine Rechnung ist natürlich (auch) richtig. -> Pluspunkt von mir (und Betrag in der Schule einführen und anwenden, kann ja nicht schaden). Dennoch

Wie notierst du das Gleiche bei x^2 = -9 ?

Was genau ist deiner Meinung nach nicht korrekt bei der Umformung von Kai?

± auf beiden Seiten wäre redundant. Das kann mit einer Bemerkung im Theorieheft einmal erwähnt werden.

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Was ich an der Schreibweise nicht so mag, ist das ± eigentlich auf beiden Seiten Anwendung findet (ansonsten ist es keine Äquivalenzumformung) und demnach sofort wieder gekürzt werden kann. Das muss man halt irgendwo als Anleitung haben, dass ± nur rechts steht. Ansonsten passt das schon.

Bei der Gleichung x^2=-9 würde ich nicht Wurzelziehen, sondern als Lösungsmenge die leere Menge hinschreiben mit der Begründung:

Quadrate werden niemals negativ.

Die sonst enstehende Gleichung x^2=√(-9) ist im Reellen nicht definiert, beinhaltet also auch keinen Aussagewert bezüglich der Lösungsmenge mehr.

Answer 2

Mathematisch korrekt ist glaube ich

x^2 = 9
√ x^2 =  √ 9
| x | = 3
x = + 3
x = - 3

Anders auch
± √ x^2 =  ± √ 9

± x  =  ± 3

Kombinationsmöglichkeiten
+ x = + 3
+ x = - 3

- x = + 3  | * -1
x = - 3
- x = - 3 | * -1
x = + 3

mehr als den Wert für + x
+ x = ± 3
x = ± 3
braucht nicht angeführt werden.

Answer 3

Ich würde es so schreiben:

$$ x^2 = 9  \quad | \pm \sqrt{ \quad } \\ x = +3 \quad\text{oder}\quad x = -3 $$Dies ist kurz und verständlich. Es vermeidet zudem ein \(\pm\) in der Gleichung, denn aus diesem Grund schreibt man es ja daneben. Ein \(\pm\) auf beiden Seiten ist meines Erachtens falsch. Macht man es dennoch, muss man alle vier möglichen Fälle zulassen, obwohl man nur diejenigen benötigt, bei denen links plus steht, die beiden anderen sind dazu äquivalent. Das erfordert dann wohl eine gesonderte Bedienungsanleitung... Das \(\pm\) ganz vermeiden und stattdessen den Betrag verwenden würde ich u.a. aus dem von dir genannten Grund auch nicht.