Partielle oder totale Ordnung Zeigen

Question

Wie zeige ich bei der Ordnung , dass es sich um eine partielle Ordnung handelt ? Für eine partielle Ordnung muss Jaa gelten dass die Ordnung reflexiv , transitiv und antisymmetrisch ist . Kann mir jemand bei dem Beweis helfen ? Wäre lieb wenn jemand mir die formelle Beweisführung zeigen könnte ?:)

Answer 1

Seien a₁, a₂, b₁, b₂, c₁, c₂  ∈ ℤ mit (a₁, a₂) ≤ (b₁, b₂) und (b₁,b₂) ≤ (c₁, c₂).

Wegen (a₁, a₂) ≤ (b₁, b₂) ist a₁ ≤ b_1.

Wegen (b₁,b₂) ≤ (c₁, c₂) ist b₁ ≤ c₁.

Wegen der Transitivität von "≤" auf ℤ ist dann auch a₁ ≤ c₁.

TODO: Schlussfolgere auf ähnlich Weise, das a₂ ≤ c₂. Begründe, warum damit die Transitivität von "≤" auf ℤ×ℤ gezeigt ist.

Seien a₁, a₂ ∈ ℤ.

TODO Begründe, warum dann (a₁, a₂) ≤ (a₁, a₂) gilt indem du die Reflexivität von "≤" auf ℤ verwendest. Damit hast du die Reflexivität von "≤" auf ℤ×ℤ gezeigt.

Seien a₁, a₂, b₁, b₂ ∈ ℤ mit (a₁, a₂) ≤ (b₁, b₂) und (b₁, b₂) ≤ (a₁, a₂).

TODO Begründe, warum dann (a₁, a₂) = (b₁, b₂) gilt. Damit hast du dann die Antisymmetrie von "≤" auf ℤ×ℤ gezeigt.

Zuletzt: begründe warum die Ordnung nicht total ist.

Comments

Können Sie mir vielleicht sagen ob diese Ordnung total ist ?

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Ich meine können Sie mir sagen warum es nicht total ist ?

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Total wäre die Ordnung, wenn jedes Element aus ℤ×ℤ mit jedem anderen verglichen werden könnte, wenn also zu jedem (a₁, a₂), (b₁, b₂) ∈ ℤ×ℤ mindestens einer der Fälle

• (a₁, a₂) ≤ (b₁, b₂)
• (b₁, b₂) ≤ (a₁, a₂)

zutreffen würde. Das ist hier nicht der Fall. Finde zwei Elemente in ℤ×ℤ, die nicht miteinander vergllichen werden können.

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Zum Beispiel (1,2)<= (2,1) ? Und wäre totale Vergleichbarkeit nicht ausgeschlossen wenn die antisymmetrie gilt ?

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> Zum Beispiel (1,2)<= (2,1)

Um es mal genauer zu formulieren, es gilt weder (1,2) ≤ (2,1), noch (2,1) ≤ (1,2).

> Und wäre totale Vergleichbarkeit nicht ausgeschlossen wenn die antisymmetrie gilt ?

Das wäre blöd. In der Definition von Totalordnung wird explzit Reflexivität, Antisymmetrie, Transitivität und Totalität gefordert. Wenn sich jetzt Antisymmetrie und Totalität gegenseitig ausschließen, dann hätte man ja eine Definition erfunden, die man überhaupt nicht gebrauchen könnte.

Die ganzen Zahlen mit der üblichen ≤-Relation sind sowohl antisymmetrisch, als auch total.

Der Wohlordnungssatz geht noch einen Schritt weiter, er besagt, dass man auf jeder Menge eine total Ordnung definieren kann, in der jede Teilmenge ein kleinstes Element hat.

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Können Sie mir genau erklären was totale Vergleichbarkeit ist

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Total wäre eine Ordnung "≤" auf einer Menge M, wenn jedes Element aus M mit jedem anderen verglichen werden könnte, wenn also zu allen a, b ∈ M mindestens einer der Fälle

• a ≤ b
• b ≤ a

zutreffen würde.

Falls dir das bekannt vorkommt, dann vielleicht deshalb, weil das in meinem ersten Kommentar steht :-)

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Aber antisymmetrie sagt Jaa aus dass a=b ist , ist das nicht ein Widerspruch ?

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Antisymmetrie sagt was passiert, wenn sowohl a ≤ b als auch b ≤ a gilt.

Totalität fordert, das mindestens eine der Aussagen a ≤ b und b ≤ a gilt. Totalität verbietet nicht, dass beide Aussagen gelten. Was dann passiert, das sagt dir die Antisymmetrie.