Aufgabe:
$$\text{ Sei } \leq \text{ eine (partielle) Ordnung auf der nicht-leeren Menge M. Definiere eine Relation } \preceq \text{auf } M^n \text{ durch:}$$
$$u=\left(u_1, \ldots, u_n\right) \preceq v=\left(v_1, \ldots, v_n\right) \text{ genau dann, wenn } u=v \text{ oder } u_i<v_i \text{ für das kleinste i mit }u_i \neq v_i$$
Zeigen Sie:
(a) $$\preceq \text{ ist eine partielle Ordnung auf } M^n $$
(b) $$\text {Ist} \leq \text{eine totale Ordnung auf M, so ist } \preceq \text{ eine totale Ordnung auf } M^n$$
Problem/Ansatz:
Ich kenne die Eigenschaften die eine partielle/totale Ordnung erfüllen muss. Wenn die Menge und die Relation angegeben sind ist es auch kein Problem diese zu zeigen. Hier stehe ich jetzt allerdings auf dem Schlauch. So wie ich das verstehe macht die Relation die ich definieren soll das selbe wie eine kleiner-gleich Relation nur eben auf M^n statt auf M. Aber hier versteh ich schon nicht ganz wie ich diese Relation jetzt definiere oder ist das angegebene bereits die Definition?
Sowohl bei a) als auch bei b) habe ich keine Ahnung wie ich das beweisen soll, mir fällt es immer schwer etwas ohne konkrete Zahlen zu zeigen, vorallem wenn ich noch keinen ähnlichen Beweis für solche Aufgaben gesehen habe.
