Vektorlänge bzw eingeschlossener Winkel

Question

Seien a1 und a2 Einheitsvektoren aus R 3 , die den Winkel 2/3 pi einschließen. Berechnen Sie die Länge der Vektoren b1 = 4a1 − a2 und b2 = 4a1 + 6a2 sowie den von b1 und b2 eingeschlossenen Winkel. Bestimmen Sie dazu zunächst a1 · a2 und betrachten Sie dann b1 · b1 , b2 · b2 und b1 · b2 . 

Verstehe die Aufgabe nicht richtig? Ich berechne die Länge des Vektors b1 und b2, wo ich 5 rauskriege. und bei dem eingeschlossenen Winkel habe ich 42,27grad

was ist aber mit Bestimmen Sie zunächst .... gemeint?

Ist die Länge und der Winkel richtig?

Answer 1

Seien a1 und a2 Einheitsvektoren aus R 3 , die den Winkel 2/3pi einschließen.

was ist aber mit Bestimmen Sie zunächst .... gemeint?

Def. des Skalarproduktes

a1 · a2 = |a1| · |a2|· cos(  Winkel zwischen a1 und a2 )

          =   1 * 1 * cos( 2/3pi )  = -0,5

|b1| = √ ((4a1 − a2 )·(4a1 − a2))

     = √ (16a1·a1  −4· a2 · a1 -4a1a2  + a2·a2 )

    = √ (16  −4· (-0,5) -4·(-0,5) + 1)

= √ (16 +8 + 1) = = √25  = 5

entsprechend bei b2 bekomme ich allerdings

... =     = √ (16  +4·6 (-0,5) +6·4·(-0,5) + 36) =√28 !!!!!!!!

und b1 · b2 = (4a1-a2)(4a1+6a2) = 16  + 24*(-0,5) - 4(-0,5) - 6 = 0

also Winkel α zwischen   b1 und b2

b1 · b2 =  |b1| · |b2|· cos( α )

   0 = 1 * 1 * cos( α )

==>  cos( α )=0    ==>   α =90°