Vektorrechnung: Winkel berechnen, der von zwei Geraden eingeschlossen wird

Question

Gegeben sind die Gerade g: X = (5/3) + t · (2/-1) sowie der Punkt Q (4|4).
Berechnen Sie den Winkel, den die Gerade g mit der Geraden f: 2x + 3y = 7 einschließt.

Wie muss ich das denn berechnen? Ich kenne die Formel leider nicht!
Das Thema ist Vektorrechnung.

Answer 1

f: 2·x + 3·y = 7 --> y = 7/3 - 2/3·x → Richtungsvektor [3, -2]

Winkel zwischen den Vekotren [3, -2] und [2, -1]

α = ARCCOS([3, -2]·[2, -1] / (|[3, -2]|·|[2, -1]|) ) = 7.125°

Answer 2

Hallo,

g: X = (5/3) + t · (2/-1)

Du brauchst die zweite Gerade auch in Parameterform.

f: 3y=7-2x ⇔ y=-2/3 x +7/3

in Parameterform: f: (x,y)= (x,-2/3 x +7/3) = x*(1,-2/3) + (0,7/3)=k*(3,-2) + (0,7/3)

Den Winkel bekommst du über das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$$cos(\gamma)=\frac{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{\begin{pmatrix} 2\\-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\-2 \end{pmatrix}}{\sqrt{5}\sqrt{13}}=\frac{8}{\sqrt{65}}$$

Jetzt den arccos nehmen.

Answer 3

Winkel zwischen 2 Vektoren

(a)=arccos(Betrag |a*b/(|a|*|b|)

a*b=ax*bx+ay*by+az*bz

Betrag (a)=Wurzel(ax²+ay²+az²)

Betrag (b)=Wurzel(bx²+by²+bz²)

ein Vektor ist der Richtungsvektor der Gerade g: a(2/-1)

3*y=7-2*x

y=-2/3*x+7/3  mit m=Δy/Δx=-2/3  ergibt b(3/-2)  weil beim Spaltenvektor die Komponeten so geortnet sind b(bx/by/bz)

also a(2/-1) und b(3/-2)

mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio)  (a)=7,125°