Finde eine Funktion 3.Grades: Wendepunkt W(0|1) und berührt Parabel p(x) = x^2 + x im Scheitelpunkt

Question

Finde eine Funktion 3. Grades!

Der Graph hat den Wendepunkt W(0|1) und berührt die Parabel mit der Gleichung p(x) = x^2 + x im Scheitelpunkt.

Wie lauten die Bedingungen, die ich brauche um die Parameter der Fuktion 3. Grades zu bestimmen? Ich finde nur 3 Bedingungen brauche aber 4.

Answer 1

Bedingungen:
f''(x=0) = 0; //Wendepunkt, notwendiges Kriterium
f'(x=-1/2) = 0; //Parabel, Steigung in Berührpunkt ist 0
f(x=0) = 1; //Wendepunkt ist Teil von f(x)
f(x=-1/2) = -1/4; //Berührpunkt an Parabel ist Teil von f(x)

Comments

Wie kommst du denn auf -1/2?

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Der Scheitelpunkt der Parabel
p ( x ) = x^2 + x
ist ( 1.Ableitung )
p ´( x ) = 2 * x + 1

2 * x + 1 = 0
x = -1/2
p ( -1/2 ) = 1/4 + ( -1/2 ) = -1/4
S ( -1/2  | - 1/ 4 )

Answer 2

3.Grad:  Der Graph hat den Wendepunkt W\((0|1)\) und berührt die Parabel mit der Gleichung \(p(x) = x^2 + x \)   im Scheitelpunkt.

Bestimmung des Scheitelpunktes:

\(p(x) = x^2 + x \) 

\(p'(x) =2x+1 \)

\(2x+1=0 \)

\(x_S=-\frac{1}{2} \)    → \(p(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} -\frac{1}{2}=- \frac{1}{4} \)

S\((-\frac{1}{2}|- \frac{1}{4})\)   ↑ S\((-\frac{1}{2}|0)\) doppelte Nullstelle

\(f(x)=a[(x+\frac{1}{2})^2(x-N)]\\=a[(x^2+x+\frac{1}{4})(x-N)]\\=a[x^3+x^2+\frac{1}{4}x-Nx^2-Nx-\frac{N}{4}]\)

\(f'(x)=a[3x^2+2x+\frac{1}{4}-2Nx-N]\)

\(f''(x)=a[6x+2-2N]\)

W\((0|...)\):

\(f''(0)=a[2-2N]=0\)

\(N=1\):

\(f(x)=a[x^3+x^2+\frac{1}{4}x-x^2-x-\frac{1}{4}]=a[x^3-\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}]\)

W\((0|1)\)↑  W´\((0|\frac{5}{4})\)

\(f(0)=a[-\frac{1}{4}]=\frac{5}{4}\)

\(a=-5\):

\(f(x)=-5(x^3-\frac{3}{4}x-\frac{1}{4})\) ↓:

\(h(x)=-5(x^3-\frac{3}{4}x-\frac{1}{4})-\frac{1}{4}\)