Parabel 3. Ordnung: Im Wendepunkt W die Steigung -3, im Hochpunkt den Funktionswert 2

Question

Eine Parabel 3. Ordnung ist punktsymmetrisch zum Ursprung, hat im Wendepunkt W die Steigung m=-3 und im Hochpunkt einen Funktionswert von +2.

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung!

Comments

Weißt Du wo der Hochpunkt ist? Sonst ist die Aufgabe meiner Ansicht nach nicht zu lösen.

 

Grüße

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Ich weiß nur, dass es im Hochpunkt einen Funktionswert  von +2 gibt :(  Was bedeutet das überhaupt?

Aber durch die Punktsymmetrie fallen doch zwei gerade Konstanten weg ne?!

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Der Ansatz ist y=ax^3+cx

Das Problem ist, dass uns die Information über den Wendepunkt nur

f'(0)=-3

liefert.

Die Information f(0)=0 und f''(0)=0 die man ebenfalls rausholen könnten sind unbrauchbar.

Siehe unten ;)

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Mit dem Ansatz f(x)=ax^3+cx

damit ist f'(x)=3ax^2+c

und f''(x)=6ax

mit der Wendepunkt Info bekommt man f'(0)=-3 also c=-3;

und für den Hochpunkt:

f'(x)=3ax^2-3=0

3ax^2=3

x^2=1/a

x=+-sqrt(1/a); damit muss a>0 sein.

Jetzt muss man noch wissen welches der beiden der Hochpunkt ist, also setzt man das in f'' ein:

f''(+sqrt(1/a))=6a*sqrt(1/a)>0

also Tiefpunkt damit ist -sqrt(1/a) ein Hochpunkt.

Damit gilt a*(-sqrt(1/a))^3-3*(-sqrt(1/a))=2.

und das kann man nach a auflösen und ist fertig.

Answer 1

Eine Parabel 3. Ordnung ist punktsymmetrisch zum Ursprung,

f(x) = ax^3 + bx

hat im Wendepunkt W die Steigung m=-3

f'(0) = -3
b = -3

f(x) = ax^3 - 3x

und im Hochpunkt einen Funktionswert von +2

f'(x) = 0
3·a·x^2 - 3 = 0
x = -1/√a (HP muß links sein weil im Ursprung eine neg. Steigung ist)

f(-1/√a) = 2
2/√a = 2
a = 1

Die Funktion lautet damit

f(x) = x^3 - 3x

Answer 2

f(x) = ax^3 +bx^2 +cx +d;

f'(x) = 3ax^2 +2bx +c;

f''(x) = 6ax +2b;

//Funktion verläuft durch (0 | 0)
f(x=0) = 0 = d;

//Funktion hat bei x=0 die Steigung m=-3
f'(x=0) = -3 = c;

//Funktion hat einen Wendepunkt bei x=0
f''(x=0) = 0 = 2b; b = 0;

//Hochpunkt bei x=e
f(x=e) = 2 = e^3*a -3*e;

//Steigung der Funktion ist 0 an der Stelle x=e
f'(x=e) = 0 = 3*a*e^2 -3;
a = e^{-2};

//a = e^{-2}  in  2 = e^3*a -3*e einsetzen
2 = e -3e = -2e;
e = -1; -> a = 1;

a = 1;  b = 0;  c = -3;  d = 0;

f(x) = x^3 -3x;