Ganzrationale Funktion 3.Grades: H(-1/2) ist relativer Hochpunkt und W(0/0,5) ist Wendepunkt

Question

h(-1/2) ist relativer Hochpunkt und W(0/0,5)  ist  Wendepunkt.

Answer 1

Der Hochpunkt ist eine Nullstelle der ersten Ableitung, der Wendepunkt ist eine Nullstelle der zweiten Ableitung.
Außerdem ist der Y-wert an der Stelle 0 gleich 0,5 (Wendepunkt) und den Hochpunkt hast du ja auch noch.

Answer 2

Hi.

Allgemein:

f(x) = ax^3+bx^2+cx+d

f'(x) = 3ax^2+2bx+c

f''(x) = 6ax+2b

 

Bedingungen aufstellen:

f(-1) = 2   (Hochpunkt)

f'(-1) = 0   (Hochpunkt)

f(0) = 0,5 (Wendepunkt)

f''(0) = 0   (Wendepunkt)

 

Einsetzen und Gleichungssystem erhalten:

-a+b-c+d = 2

3a-2b+c = 0

d = 0,5

2b = 0

 

Direkt b und d einsetzen. Dann sind es nur noch zwei Gleichungen:

a=0,75, b=0, c=-2,25, d=0,5

 

Also: f(x) = 0,75x^3-2,25x+0,5

 

Grüße

Answer 3

H\((-1|\red{2})\) ist relativer Hochpunkt und W\((0|0,5)\)  ist Wendepunkt.
Ich verschiebe um \(\red{2}\) Einheiten nach unten und erhalte H´\((-1|0)\):
\(f(x)=a[(x+1)^2(x-N)]=a[(x^2+2x+1)(x-N)]\\=a[x^3-Nx^2+2x^2-2xN+x-N]\)

\(f'(x)=a[3x^2-2Nx+4x-2N+1]\)

\(f''(x)=a[6x-2N+4]\)

Wendepunkteigenschaft:

W´\((0|...)\)

\(f''(0)=a[-2N+4]=0\)

\(N=2\):

\(f(x)=a[(x+1)^2(x-2)]\)

W\((0|0,5)\)→W´\((0|-1,5)\)

\(f(0)=a[(0+1)^2(0-2)]=-2a=-1,5]\)

\(a=0,75]\)

\(f(x)=0,75[(x+1)^2(x-2)]\)

Ich verschiebe um \(\red{2}\) Einheiten nach oben:

\(p(x)=0,75[(x+1)^2(x-2)]+2\)

Comments

Man könnte auch den Wendepunkt in den Ursprung verschieben und die Punktsymmetrie ausnutzen.

H*(-1|1,5)

f*(x)=ax³+bx

f*'(x)=3ax²+b

f*(-1)=1,5 → -a-b=1,5

f*(-1)=0 → -b=3a

--> -a+3a=1,5

--> a=0,75; b=-2,25

f*(x)=0,75x³-2,25x

f(x)=0,75x³-2,25x+0,5

:-)