so wie die Funktion beschrieben ist, lassen sich ihre Parameter ohne großen Aufwand berechnen. Aus der Vorgabe, dass bei \(x=2\) ein Hochpunkt und damit eine doppelte Nullstelle vorhanden ist, folgt, dass$$f(x) = a(x-x_3)(x-2)^2$$sein muss. Wobei \(x_3\) die dritte Nullstelle ist und \(a\) ein Faktor.
Da der Wendepunkt bei \(x=0\) liegt, und ein kubisches Polynom immer punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt ist, muss die Form der Funktion auch $$f(x) = ax^3 + cx -3$$ entsprechen. Damit ist sie punktsymmetrisch zu \(W(0|\,-3)\). Das gilt natürlich beides gleichermaßen, d.h. wenn man den ersten Term ausmultipliziert muss der Faktor \(b\) vor dem quadratsichen Glied identisch 0 sein. Also gilt$$ bx^2 = (-4 - x_3)x^2 = 0 \implies x_3 = -4$$und aus \(f(0)=-3\) kommt man nach Einsetzen in die erste Form zu $$\begin{aligned}f(0) = a(0-(-4))(0-2)^2 &= -3 \\ a \cdot 4 \cdot 4 &= -3 \\ \implies a &= - \frac 3{16} \end{aligned}$$Somit lautet die Funktion $$f(x)=-\frac 3{16}(x+4)(x-2)^2 = \frac 3{16}\left( -x^3 +12x \right) -3$$
~plot~ -3*(x+4)*(x-2)^2/16;-3;[[-6|6|-7|2]];x=-2.45;(3*(-2.45+4)*(-2.45-2)^2/16-3)x/(2.45)-3 ~plot~
Der blaue Graph zeigt den Verlauf der Funktion \(f(x)\) und das beschriebene Dreieck wird durch die drei Geraden eingeschlossen.
Wie schon darauf hingewiesen wurde, benötigt man aber die Paramater der Funktion zur Lösung des Teils b) nicht unbedingt. Ich beginne mit der zweiten Form von oben und leite sie ab$$f(x)=ax^3+cx-3 \\ f'(x)= 3ax^2+c \implies x_H = \pm \sqrt{\frac{-c}{3a}}$$wodurch man die X-Koordinaten der beiden Extrempunkte erhält. Das gesuchte Dreieck ist ein rechtwinkliges, man kann also seine Fläche aus dem Produkt der beiden Katheten berechnen. Die waagerechte Kathete hat den Werte \(-x\) und die senkrechte Kathete den Wert \(-3-f(x)\). Also ist die Fläche des Dreiecks und seine Ableitung nach \(x\)$$F_{\triangle}(x) = \frac 12 (-x)(-3-f(x)) = \frac 12\left(ax^4+cx^2\right) \\ F'_{\triangle}(x) = 2ax^3+cx$$Mit \(F'_{\triangle}(x_{\max}) = 0\) bekommt man dann$$(2ax_{\max}^2+c)x_{max} = 0 \implies x_{\max} = -\sqrt{\frac{-c}{2a}}$$Der Wert ist negativ, da sich das Dreieck links von der Y-Achse befindet. Vergleicht man diesen Wert mit der Lage der Hochpunktes, so sieht man dass$$\begin{aligned}x_{\max} &= -\sqrt{\frac{-c}{2a}} = - \sqrt{\frac 32 \cdot \frac{-c}{3a}} = -\sqrt{\frac 32} \cdot x_H \\ &= -\sqrt{\frac 32} \cdot 2 =-\sqrt 6 \end{aligned}$$
