Rekonstruktionsaufgabe. Parabel bestimmen aus Nullstellen und Hochpunkt

Question

In der Fragestellung lautet es um welche Kurve es sich handelt.

Bin mir nicht sicher was die genau wollen.

Mein Ansatz der Aufgabe:

Gegeben: Nultelle (0|-1) ; HP x=4 

f(x)= ax^2+bx+c

Was soll ich jetzt genau machen ?  

Comments

(0 | -1) ist der Y-Achsenabschnitt und keine Nullstelle, aber das meinst du vermutlich auch.

Answer 1

Ansatz 

f(x) =ax^2 + bx + c

Bedingungen

f(0) = -1 --> c = -1

f'(4) = 0 --> 8·a + b = 0

∫(f(x), x, 0, 1) = -12 --> a/3 + b/2 + c = -12

Löse das Gleichungssystem und erhalte: a = 3 ∧ b = -24 ∧ c = -1

f(x) =3x^2 - 24x - 1

Answer 2

Hi,

das sieht soweit gut aus, auch wenn Du eher TP statt HP verwenden solltest ;).

Damit ergibt sich aus N(0|-1), was übrigens keine Nullstelle ist, sondern ein y-Achsenabschnitt, c = -1.

f(x) = ax^2+bx-1

Nun kann man noch den TP verwenden, indem man die Ableitung bildet:

f'(x) = 2ax+b

f'(1) = 2*a*4 + b = 0

Zudem kann man die Information mit dem Flächeninhalt verbauen:

F(x) = 1/3*ax^3 + 1/2*bx^2 + cx

∫_(0)^1 f(x) dx = [1/3*a*x^3 + 1/2*bx^2 + cx]_(0)^1 = 1/3*a + 1/2*b + c = -12   (sowie c = -1)

Anmerkung: Da der Flächeninhalt unter der x-Achse ist, habe ich -12 verwendet. Alternativ mit Betrag arbeiten. Nun kann man die beiden Gleichungen lösen.

--> a = 3, b = -24 und c = -1

--> f(x) = 3x^2 - 24x - 1

Grüße