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Weiß jemand wie man die rechnet? :-) Habe bei a) einfach den Flächeninhalt * die Zeit und * die Geschwindigkeit gerechnet und habe als Ergebnis 2,7m^3 erhalten. Ist das korrekt?
Jedoch weiß ich nicht wie ich b und c berechne. Kann mir das bitte jemand vorrechen?

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Titel: Spatprodukt (Textaufgabe)

Stichworte: spatprodukt,vektoren,geraden,volumen,geometrie

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Jeweils nur eine Teilaufgabe wäre ebenfalls hilfreich

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Dein Ergebnis 2,7m3 ist richtig. Für b) bilde die Seiten des Quadrats als Vektoren im Raum ab sowie den Vektor \(v\cdot t \) als dritten Vektor des Spats und berechne dann das Volumen.

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(klick auf das Bild)

(Bem.: ich habe hier die Y-Achse als Richtung für die Geschwindigkeit gewählt - d.h. \(\vec{v} \cdot t=(0; v\cdot t; 0)^T\) ) \(s\) sei die Seitenlänge des Quadrats und \(\varphi\) der Winkel um den es gedreht wurde. Die Seitenvektoren \(a\) und \(b\) des Quadrats sind dann

$$a=\begin{pmatrix} s \cdot \cos \varphi\\ s \cdot \sin \varphi \\ 0 \end{pmatrix}; \quad b=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ s \end{pmatrix}$$

Dann ist das Spatprodukt, bzw. das Volumen des Spats

$$V=(a, v\cdot t, b)= (a \times (v \cdot t)) \cdot b = s^2 \cdot v \cdot t \cdot \cos \varphi$$

(Bem.: die Reihenfolge ergibt sich aus dem gewählten Koordinatensystem) Für \(\varphi=0°\) ergibt sich das das obige Ergebnis von \(V(\varphi=0°)=2,7\text{m}^3\) und für \(\varphi=\pi/4\) sind es dann \(V\approx 1,91 \text{m}^3\)

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