Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind darunter genau 2 defekte Glühlampen...?

Question

Eine Zehnerpackung Glühlampen enthält 4 defekte Lampen. Jemand kauf 5 Lampen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind darunter:
a) genau 2 defekte Lampen
b) mindesten 2 defekte Lampen
c) höchstens 2 defekte Lampen?

schön wäre nicht nur die Lösung sondern auch die einzelnen Schritte :)

Answer 1

 

die Wahrscheinlichkeit p, dass eine einzelne Lampe defekt ist, beträgt p = 4/10 = 0,4,

die Wahrscheinlichkeit, dass eine einzelne Lampe nicht defekt ist, beträgt dementsprechend 1-p = 0,6.

 

a) Wahrscheinlichkeit für genau 2 defekte Glühlampen bei 5 gekauften

Man muss also 2 defekte Glühlampen und 3 intakte Glühlampen haben: 0,4 * 0,4 * 0,6 * 0,6 * 0,6

Dann müssen aber noch die unterschiedlichen Reihenfolgen berücksichtigt werden, an denen die defekten Glühlampen auftreten können: 5 über 2 = 5! / (3! * 2!) = 4 * 5 / 2 = 10

Insgesamt: 

Wahrscheinlichkeit für genau 2 defekte Glühlampen bei 5 gekauften = 

10 * 0,4² * 0,6³ = 0,3456 = 34,56 %

 

b) Wahrscheinlichkeit für mindestens 2 defekte Lampen bei 5 gekauften

Man muss wie oben die Wahrscheinlichkeiten für 2, 3, 4 oder 5 Lampen berechnen und diese aufaddieren. 

Alternativ kann man berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit für 0 oder 1 defekte Lampen ist und diese von 1 abziehen (Stichwort: Gegenwahrscheinlichkeit). 

W., dass keine Lampe defekt ist: 

0,6⁵ = 0,07776

W., dass genau eine Lampe defekt ist: 

(5 über 1) * 0,4 * 0,6⁴ = 5 * 0,4 * 0,6⁴ = 0,2592

Also ist die W., dass keine oder eine Lampe defekt ist: 0,07776 + 0,2592 = 0,33696

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich mindestens zwei defekte Lampen unter den 5 gekauften befinden, beträgt also:

1 - 0,33696 = 0,66304 = 66,304 %

 

c) Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 2 Lampen defekt sind

haben wir also schon berechnet:

W (0 Lampen defekt) = 0,07776

W (1 Lampe defekt) = 0,2592

W (2 Lampen defekt) = 0,3456 | siehe Aufgabe a)

Insgesamt also:

W (höchstens 2 Lampen defekt) = 0,07776 + 0,2592 + 0,3456 = 0,68256, also 68,256 %

 

Nach eingehender Überprüfung habe ich herausgefunden, dass die Lösung von Johann Ribert, welche von meiner abweicht (siehe Kommentare weiter unten), korrekt sind. Ich bitte um Entschuldigung, falls ich Verwirrung gestiftet haben sollte!

 

Besten Gruß 

Comments

"Man muss also 2 defekte Glühlampen und 3 intakte Glühlampen haben: 0,4 * 0,4 * 0,6 * 0,6 * 0,6."

Ich denke das stimmt so nicht, da die Wahrscheinlichkeit sich mit jedem Zug ändert:

Bin mir aber leider nicht sicher ob mein Ansatz stimmt.

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Hallo Johann Ribert,
ich bin mir leider auch ungewiss, ob hier die hypergeometrische Verteilung angewendet werden muss. Vielleicht kann sich noch jemand anderes dazu äußern ...

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@JR: Du nimmst an, dass aus der einen Packung fünf Lampen gekauft werden.

Du müsstest oben statt 'plus' ein 'mal' setzen, da es 2 von den 4 defekten und 'dann' (unabhängig von den gewählten defekten Lampen) noch 3 von den 6 ganzen sein müssen.

Brucybabe geht offenbar davon aus, dass unendlich viele Schachteln vorhanden sind und der Käufer die einzelnen Lampen aus beliebigen Schachteln wählt.

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vielen Dank!

Noch eine Frage: Wie berechnet man (wie oben) zum Beispiel: 5 über 1

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@Brucybabe und JR: Kontrollmöglichkeit: Genau keine + genau eine + genau 2.... + genau 5 sind defekt

müsste total 1 (=100%) geben.

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@ Anonym: 

Das ist die bekannte "Lotto-Formel":

Im Lotto (6 aus 49) gibt es "49 über 6" mögliche Ergebnisse. 

"49 über 6" ist ein Binomialkoeffizient: 

Der lautet allgemein

n über k = n! / [ k! * (n-k)! ]

Also beim Lotto: 

49! / (6! * 43!) = 44 * 45 * 46 * 47 * 48 * 49 / 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 13.983.816

5 über 1 wäre entsprechend: 

5! / (1! * (5-1)!) = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 / 1/ 4 / 3 / 2 / 1 = 5, 

denn es gibt 5 Möglichkeiten, aus 5 genau 1 auszuwählen. 

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Hm, nachdem nicht ganz klar ist wie das gemeint ist hier die Lösungen mit meinem Ansatz (Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge; es wird nur unter den 10 Glühbirnen in der Schachtel ausgewählt):

Eine Zehnerpackung Glühlampen enthält 4 defekte Lampen. Jemand kauft 5 Lampen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind darunter:

a) genau 2 defekte Lampen
47,62%

b) mindesten 2 defekte Lampen
73,81%

c) höchstens 2 defekte Lampen?
73,81%

 

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@ Lu: 

Einspruch :-)

P (X = 0) = (5 über 0) * 0,4⁰ * 0,6⁵ = 1 * 1 * 0,07776 = 0,07776

P (X = 1) = (5 über 1) * 0,4¹ * 0,6⁴ = 5 * 0,4 * 0,6⁴ = 0,2592

P (X = 2) = (5 über 2) * 0,4² * 0,6³ = 4*5/2 * 0,16 * 0,216 = 0,3456 | wie in Antwort berechnet

P (X = 3) = (5 über 3) * 0,4³ * 0,6² = 4*5/2 * 0,064 * 0,36 = 0,2304

P (X = 4) = (5 über 4) * 0,4⁴ * 0,6 = 5 * 0,0256 * 0,6 = 0,0768

P (X = 5) = (5 über 5) * 0,4⁵ * 0,6⁰ = 1 * 0,4⁵ * 1 = 0,01024

Die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten beträgt? :-D 

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Wieso Einspruch? Ich komm auf 1, wenn ich Deine Ergebnisse aufsummiere?!

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@Brucybabe: Stimmt. Die Kontrolle funktioniert bei dir natürlich. Die Frage wäre eher, ob die bei JR auch klappt. Da die Fragestellung nur von einer Schachtel spricht, ist der Ansatz von JR vorzuziehen, wenn dort die Kontrolle stimmt.

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@ Johann Ribert:

Einspruch, weil in einem vorherigen Kommentar behauptet wurde, die Summe würde nicht 1 ergeben.