Bestimmen Sie ein Basis B von V aus Eigenvektoren von f , f ∈ End(V) mit f(v) = u [....]

Question

Angaben: V = ℝ³ ,  f ∈ End(V) mit f(v) = u , v = u+w , für alle u ∈ U , w ∈ W

und $$ U = \{ {}^{t}(x,y,z) \in R³ \quad , x + y - z = 0\} $$ , $$ V = U \oplus W $$

Aufgabe: Bestimmen Sie diesen Unterraum W von V und eine Basis B von V aus Eigenvektoren von f

Eine Basis von U wäre $$ {B}_{U} = \{ r *\begin{pmatrix}  1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix}  1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} | r,s \in R\}$$

Eine Basis von W wäre dann $$ {B}_{W} = \{t * \begin{pmatrix}  0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} | t \in R\} $$ die $$ V = U \oplus W $$ erfüllt oder?

Jetzt habe ich probleme damit eine Basis aus Eigenvektoren von f zu finden die eine Basis von V bilden sollen.

Wenn ich f(^t(1, 0, 1) + ^t(0, 0, 1)) = ^t(1, 0, 1) , .... ,  f(^t(1, 0, 1) + t(1, -1, 0) + ^t(0, 0, 1)) = ^t(2, -1, 1)

in eine Abbildungsmatrix schreibe und dann das charakt. Polynom bestimme bekomme ich eigenwerte die keine ganze zahl sind... vielleicht muss man es anders lösen aber es fällt mir nichts ein...

Comments

f^t(x, y, z) = ^t(x, y, x + y) = λ ^t(x, y, z) habe ich auch mal versucht aber da entstehen ja max. 2 linear unabhängige vektoren ^t(x, y, z) als vielfache der vektoren aus der angegebenen basis von U , das kann also auch nicht richtig sein. mir fehlt ein ansatz wie man es lösen kann...

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oder wäre f(0, 0, 1) = (0, 0, 0) = 0 * (0, 0, 1) ein dritter Vektor

zusammen mit f(1, 0, 1) = (1, 0, 1) = 1 * (1, 0, 1) und f(1, -1, 0) = (1, -1, 0) = 1 * (1, -1, 0)

Dann wäre ja B_U ∪ B_W eine Basis aus Eigenvektoren von V?

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ich meinte B_U ∪ B_W eine Basis von V aus Eigenvektoren von f

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\(f\) ist die Projektion auf \(U\). Insbesondere ist \(f(u)=u\) für alle \(u\in U\) und \(f(w)=0\) für alle \(w\in W\). \(W\) ist nicht eindeutig bestimmt.

(In Deiner Notation sind \(B_U\) und \(B_W\) keine Basen, sondern das Erzeugnis der Basen, also schon \(U\) und \(W\).)

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ah danke das ist mir schon mal passiert. Also  ich ja wenn ich die vektoren richtig in die Basis schreibe schon die Vereinigung von B_U und B_W als Basis v. V aus Eigenvektoren v. f verwenden? Dann habe ich f(w) = 0*w mit 0 als Eigenwert zu einem Eigenvektor aus der Hülle ⟨(0,0,1)⟩ und 1 als Eigenwert zu je einem Eigenvektor aus ⟨(1,0,1)⟩ und ⟨(1,-1,0)⟩

_BM_B (f) würde dann so aussehen oder? _BM_B (f) = ((1 , 0 , 0);(0, 1, 0);(0 , 0 , 0)) mit einer beliebigen Reihenfolge der Diagonaleinträge. Dass sollte ich noch angeben.

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Wie meinst du dass W nicht eindeutig bestimmt ist? ich sollte erst einen Unterraum W angeben so dass V = U ⊕ W