Aufgabe:
Die Fakultätsfunktion ist wie folgt definiert,
\( n !=1 \cdot 2 \cdots \cdots n \quad \text { und } \quad 0 !=1 \)
(Äquivalente rekursive Definition: \( 0 !:=1 \) und \( (n+1) !:=(n+1) \cdot n !) \)
Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion über \( \mathbb{N}^{*} \), dass
\( \sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot k !=(n+1) !-1 \)
Ansatz:
Ich bin bis zu dieser Rechnung angekommen:
Induktionsanfang: Die Aussage n=1 ist wahr für 1 · 1! = (1+1)! - 1 = 1
Induktionsschritt: Für alle (k · k!)·n = (n+1)! - 1
(k · k!)·n = (n+1)·n! - 1 +1
k · n! · n + 1 = (n+1)·n!
weiter komme ich nicht.