Hallo Sonnenblume,
das Dir noch keiner geantwortet hat kann daran liegen, dass die vollständige QR-Zerlegung obiger Matrix zu Fuß ziemlich mühsam ist. Besser man bedient sich eines Werkzeugs wie Excel oder ähnlichem.
Ich gehe im folgenden davon aus, dass Du das Grundprinzip der QR-Zerlegung mittels 'Given Rotations' verstanden hast. Es geht also nur um die Rechnung.
Die Matrix lautet
$$M=\begin{pmatrix} \colorbox{#00cccc}{2} & 1 & 1\\ \colorbox{#cccc00}{-1} & -1 & -3\\ 2 & 3 & 3 \\ 1& 1& -1 \end{pmatrix}$$
Soll das grün markierte Element zu 0 werden, so bilden dieses und das darüber liegende blaue Element der Hauptdiagonalen die beiden Werte zur Bestimmung der Rotationsmatrix. Die beiden Werte \(c\) 'Kosinus' und \(s\) 'Sinus' berechnen sich demnach aus
$$c = \frac{\colorbox{#00cccc}{2}}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \quad s = \frac{\colorbox{#cccc00}{-1}}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}$$
Folglich ist die erste Rotationsmatrix \(G_{2,1}\)
$$G_{2,1}=\begin{pmatrix}c & s & 0 & 0\\ -s & c & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0& 0& 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2/\sqrt{5} & -1/\sqrt{5} & 0 & 0\\ 1/\sqrt{5} & 2/\sqrt{5} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0& 0& 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Die Multiplikation \(G_{2,1} \cdot M\) gibt dann
$$G_{2,1} \cdot M =\begin{pmatrix} \colorbox{#00cccc}{√5} & 3/\sqrt{5} & \sqrt{5}\\ 0 & -1/\sqrt{5} & -\sqrt{5}\\ \colorbox{#cccc00}{2} & 3 & 3 \\ 1& 1& -1 \end{pmatrix} $$
Ich habe gleich die nächsten Elemente markiert, die man zur Bestimmung der Werte \(c\) und \(s\) benötigt. Das grüne soll wieder zu 0 werden.
$$c= \frac{\colorbox{#00cccc}{√5}}{\sqrt{5 + 2^2}} \quad s= \frac{\colorbox{#cccc00}{2}}{\sqrt{5 + 2^2}}$$
Die nächste Rotationsmatrix ist \(G_{3,1}\)
$$G_{3,1}=\begin{pmatrix}c & 0 & s & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -s & 0 & c & 0 \\ 0& 0& 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sqrt{5}/3 & 0 & 2/3 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -2/3 & 0 & \sqrt{5}/3 & 0 \\ 0& 0& 0 & 1 \end{pmatrix}$$
und das Resultat \(G_{3,1} \cdot G_{2,1} \cdot M\) ist
$$G_{3,1} \cdot G_{2,1} \cdot M =\begin{pmatrix} 3 & 3 &11/3 \\ 0 & -1/\sqrt{5} & -\sqrt{5}\\ 0 & -1/\sqrt{5} & \sqrt{5}/3 \\ 1& 1& -1 \end{pmatrix} $$
so geht das weiter mit \(G_{4,1}\), \(G_{3,2}\) und \(G_{4,3}\), mit denen das Resultat stets links multipliziert wird. \(G_{4,2}\) ist die Einheitsmatrix, da \(a_{4,2}\) bereits 0 ist.
$$G_{4,1} = \begin{pmatrix} 3/\sqrt{10}& 0& 0& 1/\sqrt{10}\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ -1/\sqrt{10}& 0& 0& 3/\sqrt{10}\end{pmatrix}$$
$$G_{3,2} = \begin{pmatrix} 1& 0& 0& 0\\ 0& -1/\sqrt{10}& 3/\sqrt{10}& 0\\ 0& -3/\sqrt{10}& -1/\sqrt{10}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{pmatrix}$$
$$G_{4,3} = \begin{pmatrix} 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2/3& -\sqrt{5}/3\\ 0& 0& \sqrt{5}/3& 2/3\end{pmatrix}$$
Am Ende bleibt \(R\) übrig:
$$R= \begin{pmatrix} \sqrt{10} & \sqrt{10}& \sqrt{10}\\ 0 & \sqrt{2}&\sqrt{2} \\ 0 & 0 & 2\sqrt{2}\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$
und das transponierte Produkt aller Rotationsmatrizen ist \(Q\) mit \(Q \cdot R = M\)
$$Q= \begin{pmatrix} \sqrt{10}/5 & -\sqrt{2}/2& 0& -\sqrt{10}/10\\ -\sqrt{10}/10& 0& -\sqrt{2}/2& -\sqrt{10}/5\\ \sqrt{10}/5& \sqrt{2}/2& 0& -\sqrt{10}/10\\ \sqrt{10}/10& 0 & -\sqrt{2}/2& \sqrt{10}/5\end{pmatrix}$$
So und jetzt hoffe ich für uns beide, dass ich alles richtig abgeschrieben habe ;-)
Gruß Werner
