Hallo,
Lösen mit QR-Zerlegung ist hier mit Kanonen auf Spazen geschossen ;-) Aber es soll wohl geübt werden. Ich wähle das Verfahren Given-Rotation. Im ersten Schritt soll die \(1\) an der Position \((2,1)\) zu 0 werden:$$A = \begin{pmatrix}1& 2& 2\\ {\color{red}1}& 0& 2\\ 0& 1& 1\end{pmatrix}\\ G_{1,2}:\space \rho = \operatorname{sgn}(a_{11}) \sqrt{a_{11}^2+a_{21}^2} = \sqrt 2\\ \implies c = \frac12\sqrt 2,\quad s = \frac12\sqrt2\\ G_{1,2} = \begin{pmatrix} \frac12\sqrt 2 & \frac12\sqrt 2& 0 \\ -\frac12\sqrt 2& \frac12\sqrt 2& 0\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix} \\ G_{1,2} A = \begin{pmatrix} \sqrt 2 & \sqrt 2 & 2\sqrt 2 \\ 0 & -\sqrt 2 & 0 \\ 0& 1& 1\end{pmatrix}$$Bei der neu entstandenen Matrix muss jetzt nur noch das Element an der Position \((3,2)\) ge-nullt werden:$$G_{1,2} A = \begin{pmatrix} \sqrt 2 & \sqrt 2 & 2\sqrt 2 \\ 0 & -\sqrt 2 & 0 \\ 0& {\color{red}1}& 1\end{pmatrix}\\G_{2,3}:\space \rho = \operatorname{sgn}(a_{22})\sqrt{a_{22}^2+a_{32}^2}=-\sqrt 3 \\ \implies c = \frac13\sqrt 6, \quad s=-\frac13 \sqrt 3 \\ G_{2,3}=\begin{pmatrix} 1 & 0& 0 \\ 0 & \frac13\sqrt 6 & -\frac13 \sqrt 3\\ 0& \frac13 \sqrt 3& \frac13\sqrt 6\end{pmatrix} \\ G_{2,3}G_{1,2}A = \begin{pmatrix} \sqrt 2 & \sqrt 2 & 2\sqrt 2 \\ 0 & -\sqrt 3 & -\frac13 \sqrt 3\\ 0& 0& \frac13\sqrt 6\end{pmatrix}=R$$Dann noch die Matrix \(Q\) berechnen:$$Q^T = G_{2,3}G_{1,2} = \begin{pmatrix} \frac12\sqrt 2 & \frac12\sqrt 2 & 0\\ -\frac13\sqrt 3 & \frac13\sqrt 3 & -\frac13 \sqrt 3 \\ -\frac16 \sqrt 6& \frac16 \sqrt 6& \frac13\sqrt 6\end{pmatrix} $$Jetzt hat man ein Gleichungssystem der Form $$Q R \cdot x = b $$ und da \(Q^T=Q^{-1}\) multipliziert man dies nun von links mit \(Q^T\)$$\underbrace{Q^TQ}_{=\underline 1}R \cdot x = Q^T\cdot b $$Die Lösung wäre \((3,\,-5,\,4)\). Kommst Du zurecht, sonst melde Dich bitte.
Gruß Werner
