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ich soll aus der Matrix A= [2. 1 1][-1 -1 -3] [2 3 3][1 1 -1] 

Wobei [] immer für eine neue Zeile steht, A ist eine 4x 3 Matrix. Nun weiß ich aber nicht, wie das mit der Givens Rotation und der QR-Zerlegung funktionieren soll. Hab es versucht, bekomm aber nicht wirklich was hin...

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Hallo Sonnenblume,

das Dir noch keiner geantwortet hat kann daran liegen, dass die vollständige QR-Zerlegung obiger Matrix zu Fuß ziemlich mühsam ist. Besser man bedient sich eines Werkzeugs wie Excel oder ähnlichem.

Ich gehe im folgenden davon aus, dass Du das Grundprinzip der QR-Zerlegung mittels 'Given Rotations' verstanden hast. Es geht also nur um die Rechnung.

Die Matrix lautet

$$M=\begin{pmatrix} \colorbox{#00cccc}{2} & 1 & 1\\ \colorbox{#cccc00}{-1} & -1 & -3\\ 2 & 3 & 3 \\ 1& 1& -1 \end{pmatrix}$$

Soll das grün markierte Element zu 0 werden, so bilden dieses und das darüber liegende blaue Element der Hauptdiagonalen die beiden Werte zur Bestimmung der Rotationsmatrix. Die beiden Werte \(c\) 'Kosinus' und \(s\) 'Sinus' berechnen sich demnach aus

$$c = \frac{\colorbox{#00cccc}{2}}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \quad s = \frac{\colorbox{#cccc00}{-1}}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}$$

Folglich ist die erste Rotationsmatrix \(G_{2,1}\)

$$G_{2,1}=\begin{pmatrix}c & s & 0 & 0\\ -s & c & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0& 0& 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2/\sqrt{5} & -1/\sqrt{5} & 0 & 0\\ 1/\sqrt{5} & 2/\sqrt{5} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0& 0& 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Die Multiplikation \(G_{2,1} \cdot M\) gibt dann

$$G_{2,1} \cdot M =\begin{pmatrix} \colorbox{#00cccc}{√5} & 3/\sqrt{5} & \sqrt{5}\\ 0 & -1/\sqrt{5} & -\sqrt{5}\\ \colorbox{#cccc00}{2} & 3 & 3 \\ 1& 1& -1 \end{pmatrix} $$

Ich habe gleich die nächsten Elemente markiert, die man zur Bestimmung der Werte \(c\) und \(s\) benötigt. Das grüne soll wieder zu 0 werden.

$$c= \frac{\colorbox{#00cccc}{√5}}{\sqrt{5 + 2^2}} \quad s= \frac{\colorbox{#cccc00}{2}}{\sqrt{5 + 2^2}}$$

Die nächste Rotationsmatrix ist \(G_{3,1}\)

$$G_{3,1}=\begin{pmatrix}c & 0 & s & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -s & 0 & c & 0 \\ 0& 0& 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sqrt{5}/3 & 0 & 2/3 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -2/3 & 0 & \sqrt{5}/3 & 0 \\ 0& 0& 0 & 1 \end{pmatrix}$$

und das Resultat \(G_{3,1} \cdot G_{2,1} \cdot M\) ist

$$G_{3,1} \cdot G_{2,1} \cdot M =\begin{pmatrix} 3 & 3 &11/3 \\ 0 & -1/\sqrt{5} & -\sqrt{5}\\ 0 & -1/\sqrt{5} & \sqrt{5}/3 \\ 1& 1& -1 \end{pmatrix} $$

so geht das weiter mit \(G_{4,1}\), \(G_{3,2}\) und \(G_{4,3}\), mit denen das Resultat stets links multipliziert wird. \(G_{4,2}\) ist die Einheitsmatrix, da \(a_{4,2}\) bereits 0 ist.

$$G_{4,1} = \begin{pmatrix} 3/\sqrt{10}& 0& 0&  1/\sqrt{10}\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\  -1/\sqrt{10}& 0& 0& 3/\sqrt{10}\end{pmatrix}$$

$$G_{3,2} = \begin{pmatrix} 1& 0& 0& 0\\ 0& -1/\sqrt{10}& 3/\sqrt{10}& 0\\ 0& -3/\sqrt{10}& -1/\sqrt{10}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{pmatrix}$$

$$G_{4,3} = \begin{pmatrix} 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2/3& -\sqrt{5}/3\\ 0& 0& \sqrt{5}/3& 2/3\end{pmatrix}$$

Am Ende bleibt \(R\) übrig:

$$R= \begin{pmatrix} \sqrt{10} & \sqrt{10}& \sqrt{10}\\ 0 & \sqrt{2}&\sqrt{2} \\ 0 & 0 & 2\sqrt{2}\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$

und das transponierte Produkt aller Rotationsmatrizen ist \(Q\) mit \(Q \cdot R = M\)

$$Q= \begin{pmatrix} \sqrt{10}/5 & -\sqrt{2}/2& 0& -\sqrt{10}/10\\ -\sqrt{10}/10& 0& -\sqrt{2}/2&  -\sqrt{10}/5\\ \sqrt{10}/5& \sqrt{2}/2& 0& -\sqrt{10}/10\\ \sqrt{10}/10& 0 & -\sqrt{2}/2& \sqrt{10}/5\end{pmatrix}$$

So und jetzt hoffe ich für uns beide, dass ich alles richtig abgeschrieben habe ;-)

Gruß Werner

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Hi Werner, du sprichst von richtig abgeschrieben. Hattest du selbst Notizen zu diesem Verfahren oder hast du eine gute Quelle gefunden, falls ja wäre ich interessiert :)

Die Antwort ist 2,5 Jahre her. Daher weiß ich das nicht mehr. Aber ich vermute mal stark, dass ich das entweder handschriftlich gerechnet oder mit Wolfram Alpha erzeugt habe und anschließend eben übertragen - heißt abgeschreiben - habe.

Meine Quelle dazu ist Wikipedia, aber das kennst Du ja sicher. Kann gut sein, dass ich durch die Frage von sonnenblume (s.o.) hier zum ersten Mal von dieser given-rotation-Methode gehört habe. Ich fand das einfach interessant ;-)

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