Beweisen oder widerlegen: (∩(i∈I) Ai)∪(∩(i∈I) Bi) = ∩(i∈I)(Ai∪Bi)

Question

Sei I eine nicht leere (Index)menge. Ai und Bi seien für jedes i∈I Mengen.

ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe aber komme nicht weiter.

Kann jemand bitte mir helfen?

Vielen Dank schonmal!

Answer 1

Hallo banana,

sorry, meine Antwort  war leider falsch:

 ∩_i∈I A_i   ∪   ∩_i∈I B_i  

                              [    =  { x | für alle i∈I : x∈A_i } ∪ { x | für alle i∈I : x∈B_i }  

                                   ≠_i.A.  { x | für alle i∈I : x∈A_i oder x∈B_i }   ]  

         ≠_i.A.  ∩_i∈I  ( A_i ∪ B_i )   

Nachtrag (nach Kommentar von hj2166):

Gegenbeispiel:

A₁ = {1,3} , A₂ = {2,4} , 

B₁ = {2,4} , B₂ = {2,3} ,

A₁ ∪ B₁  = {1,2,3,4}    ,   A₂ ∪ B₂  = {2,3,4} 

 ∩_i∈I A_i  = { }   ,    ∩_i∈I B_i  = {2}  ,  

∩_i∈I A_i   ∪   ∩_i∈I B_i   =  {2}    ≠   ∩_i∈I  ( A_i ∪ B_i )  = {2,3,4} 

Gruß Wolfgang 

Comments

"Was nicht passt wird passend gemacht" mag zwar in so manchem Handwerk gelten, aber nicht in der Mathematik.

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Wie so oft hast mal wieder recht (und die Wortwahl enthielt tatsächlich einen Hinweis :-)). Danke dir dafür.

(vgl. Nachtrag in der Antwort) 

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Und damit es dann ganz richtig wird :  Das Ungleichheitszeichen gehört eine Zeile höher.

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@banana

Da dein (+1)  erst vor 6 Minuten kam, freue ich mich sehr, dass du die Korrektur der Antwort wohl noch rechtzeitig zur Kenntnis genommen hast.

Gruß Wolfgang

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@Wolfgang

Ich habe die Korrektur gelesen.