Ist (Ai)i∈I eine Familie kompakter Teilmengen von X, so ist auch der Schnitt von Ai kompakt.

Question

Aufgabe

Ist (Ai)i∈I eine Familie kompakter Teilmengen von X, so ist auch der Schnitt von Ai kompakt.

Problem/Ansatz:

Wir haben Kompaktheit so definiert, dass es zu jeder offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung gibt.

Wir finde ich hierzu allerdings diese Überdeckungen?

Muss ich mit dem Schnitt von endlichen Überdeckungen argumentieren?

Answer 1

Angenommen wir haben eine offene Überdeckung des schnittes, dann wissen auch, dass die offene Überdeckung jedes einzelne Ai aus dem Schnitt überdeckt, naja aber da die Ai`s alle kompakt sind gilt was? Naja, Dann finden wir zu dieser offenen Überdeckung der Ais eine Teilüberdeckung, dann ist aber gerade die endliche Teilüberdeckung des Schnittes was? Da kommen wir zu deiner Idee im Ausgangsfeed.