Betragsungleichungen 2 Variablen

Question

Kann die jemand vorrechenen? Habe die a) probiert, indem ich 4 Fallunterscheidungen gemacht habe, aber das hat mich nicht wirklich weiter gebracht.

Comments

Hast du bereits die Dreiecksungleichung |a+b|<=|a|+|b|

 bewiesen? Die kannst du dann hier verwenden.

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Ich habe die zuvor noch nie benutzt.

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Vom Duplikat:

Titel: Ungleichungen mittels Fallunterscheidung (Beweis)

Stichworte: ungleichungen,dreiecksungleichung,fallunterscheidung,beweis,gleichung

Wie kann ich das lösen?

Rechenansatz wäre hilfreich

Answer 1

| a - c | ≤ | a - b | + | b - c |
Es kommen nur positive Terme vor.
Für das Quadrat gilt die Ungleichung auch
( a - c )^2 ≤ ( | a - b | + | b - c | )^2

a^2 - 2ac + c^2 ≤ ( a -b )^2+ 2 *  | a - b | * | b - c |+ ( b - c )^2

a^2 - 2ac + c^2
≤ a^2 -2ab + b^2 + 2 *  | a - b | + | b - c |+ b^2 - 2bc + c^2

- 2ac
≤ -2ab + b^2 + 2 *  | a - b | * | b - c | + b^2 - 2bc

- 2ac - 2b^2 
≤ -2ab + 2 *  | a - b | + | b - c | - 2bc

-ac - b^2  ≤ -ab +| a - b | + | b - c | - bc
-ac - b^2  + ab + bc ≤ | a - b | * | b - c | 
-ac - b^2  + ab + bc ≤ | ab - b^2- ac + bc | 
z ≤ | z |

Dürfte wohl immer stimmen.

Answer 2

Na dann fang lieber erstmal damit an und beweise die Dreiecksungleichung

|a+b|<=|a|+|b|.

Das geht wesentlich schneller.

Comments

Ich habe doch hier westentlich mehr mit Minus, das ist doch nicht analog zum Plus.

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Das ist analog:

|a-c|=|(a-b)+(b-c)|<=|a-b|+|b-c|

Variante 2 wäre:

|2a|=|a+a|=|(a+b)+(a-b)|<=|a+b|+|a-b|

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Ich bin gerade etwas verwirrt. Das war doch nicht schon die Lösung, oder?

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Ja ;). Das setzt aber voraus , dass du bereits die Dreiecksungleichung

|a+b|<=|a|+|b|

als gegeben annehmen darfst . Deshalb habe ich dich am Anfang gefragt, ob dies so ist, da du versucht hast, die Aufgabe mithilfe von Fallunterscheidungen zu lösen (so kann man nämlich  die Dreicksungleichung beweisen, ist bei mehr als zwei Variablen aber mit großem Aufwand verbunden, deshalb macht man das erstmal nur für zwei Variablen, den Rest kann man darauf zurückführen).

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Okay danke, einfacherer ist gedacht. Ich bedanke mich :-)