Winkel zwischen ebene und gerade mit einer unbekannte

Question

In der Ebene IR³ ist die Ebene z=3 gegeben. Jetzt muss die unbekannte "a" bestimmt werden, so dass die gerade g: r ( λ)=(-4;5;-2)+ λ(5;7;a) die Ebene in einem Winkel von 53 Grad schneidet.

Answer 1

Die Ebene hat z.B. den Normalenvektor    ( 0 ; 0 ; 1 ), denn sie läuft parallel zur

xy-Ebene.

Für den Winkel α zwischen einer Ebene mit Normalenvektor n und einer Geraden

mit Richtungsvektor u gilt   immer:    α = 90° - nicht stumpfer Winkel zwischen u und n

Hier also :    α = 37°

und mit dem Skalarprodukt    u*n = |u| * |n| * cos(37°)   hast du

                                      a*1 = √ ( 74+a² ) * 1 * cos(37°)

                                       a = √ ( 74+a² ) *  0,7986      | ...²

                                      a² = ( 74+a² ) *  0,6378

                                   a² = 47,1985   +  0,6378a²

                                 0,3622a² = 47,1985

                                     a² = 130,32

                                 a=  ±11,4 

Comments

danke, auch für den Rechenweg :)

Answer 2

(0|0|1) steht senkrecht auf z=3 . Der Winkel zwischen (0|0|1) und (5;7;a) muss 37° betragen.

Comments

es ist ja nach der unbekannten a gefragt :/ der Winkel ist gegeben

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c= (0|0|1) b=(5;7;a) Der Winkes zwischen c und b ist c·b/(|a|·|b|)=cos(37°). Da ist a noch drin.

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oh, ja hab ich jetzt gesehen danke :)