Verallgemeinerter Potenzreihenansatz

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Verallgemeinerter Potenzreihenansatz

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Hi,
bei einer Dgl. der Form $$ (1) \quad y'' + x p(x) y' + q(x) y = 0 $$ macht man folgenden Lösungsansatz
$$ (2) \quad y = \sum_{k=0}^\infty a_k x^{k+\rho} $$ (2) ableiten und in (1) einsetzten führt auf
$$ (3) \quad (k+\rho)(k+\rho-1)+(k+\rho) p(x) + q(x) = 0 \text{ für alle } x \text{ und } k $$
Also folgt für $ k = 0 $ und $ x = 0 $ das gelten muss
$$ (4) \quad \rho(\rho-1)+\rho \cdot p(0) + q(0) = 0 $$

Nun zu Deiner Dgl. die kann man auch so schreiben
$$ x^2 y'' - x y' + \left( \frac{3}{4}-x^2 \right) y = 0 $$ und damit die Form (1) annimmt, mit $ p(x) = -1 $ und $ q(x) = \left( \frac{3}{4}-x^2 \right) $ also $ p(0) = -1 $ und $ q(0) = \frac{3}{4} $
Lösen von (3) ergibt $$ (5) \quad \rho = \begin{cases} 1/2\\ 3/2 \end{cases} $$

$ \mathbf{Fall \ 1: \ } \rho = \frac{1}{2} $
Einsetzten von (2) in (1) mit $ \rho = \frac{1}{2} $ führt auf
$$ (6) \quad \sum_{k=2}^\infty k(k-1) a_k x^{k+\frac{1}{2}} - \sum_{k=2}^\infty a_{k-2} x^{k+\frac{1}{2}} = 0 $$
Hierbei sind $ a_0 $ und $ a_1 $ beliebig wählbar.

D.h. man bekommt die Rekursionsvorschrift
$$ (7) \quad a_k = \frac{a_{k-2}}{k(k-1)} $$
(7) iterativ ausgeführt ergibt
$$ (8) \quad a_{2k} = \frac{a_0}{(2k)!} $$ und $$ (9) \quad a_{2k+1} = \frac{a_1}{(2k+1)!} $$ damit wird (2) zu
$$ y = x^{\frac{1}{2}} \left( a_0 \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{(2k)!} + a_1 \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \right) = \sqrt{x} \left( a_0 \cosh(x) + a_1 \sinh(x) \right) $$

Der zweite Fall geht genauso und man bekommt $$ y = \sqrt{x} a_0 \sinh(x) $$

Beantwortet 28 Nov 2017 von ullim

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