DGL mit Potenzreihenansatz lösen

Question

Aufgabe:

Das DGL: xy‘‘ + (b-x)y‘ -ay = 0 ist gegeben und man soll über den Potenzreihenansatz eine Rekursionsformel aufstellen.

Meine lautet:

a_(k+1)=-ba_k+1(k+1)+ a_kk+aa_k/(k(k+1)

Ich hab das Problem jetzt, dass für k=0 ich durch 0 teile und keine Lösung habe. Habe ich was falsch gemacht oder wo liegt mein Fehler.

Ich soll nämlich die ersten 4 nicht verschwindende Glieder für die spezielle Lösung y(0)=1 bestimmen.

Außerdem soll ich noch zeigen dass für ein negatives a die Reihe abbricht. Aber auch dass sehe ich mit meiner Rekursionsformel nicht.

Ich hoffe jemand kann helfen

Comments

Mir kommt die Aufgabe merkwürdig vor: Wenn Du durch x dividierst, wäre die Dgl nicht mehr im Nullpunkt definiert. Der Existenzsatz von Picard-Lindelöf greift nicht.

Auch wenn Du eine Potenzreihe mit a_0=1 bestimmst, dann die Dgl durch x dividierst, nach y'' auflöst, hätte y'' eine Singularität:

Kann es sein, dass Ihr über singuläre Dgl sprecht und ein modifizierter Potenzreihenansatz richtig wäre?

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Hmm, ich denke nicht, da ich davon noch nie was gehört hab

Answer 1

Du musst beim Koeffizientenvergleich auch achten, für welche k das gilt. Den Ansatz nennst Du nicht (gehört dazu!), ich gehe im folgenden von \(y(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty a_kx^k\) aus.

Ich komme auf (korrigierte Version)

\(0=a_{k+1}(k+1)k+b\,a_{k+1}{k+1}-a_kk-aa_k\) für \(k=1,...\).

Für \(k=0\) finde ich: \(b\,a_1-aa_0=0\).

Wg \(y(0)=1\) ist \(a_0=1\), woraus sich alles weitere ergeben sollte.

Es sei denn, \(b\) wäre 0. Auch diese Voraussetzungen nennst Du nicht. Oberste Regel: liefere vollständige Info, damit geholfen werden kann.

Alle Angaben ohne Gewähr.

Comments

Sorry, für b und a ist nichts gegeben also ich denke entspricht allen reellen Zahlen.

Mein Ansatz war der Gleiche

Die Reihen eingesetzt:

\( \sum\limits_{k=2}^{\infty}{} \) k-1ka_kx^k-1

+ b\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{} \)a_kkx^k-1

-\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{} \)ka_kx^k

- a \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{} \) a_kx^k

⁼⁰

Durch Indextransformation und dem Ausklammern von x^k kommt es zu

x^k(k(k+1)a_k+1+ba_k+1(k+1)-a_kk-aa_k)=0

Und dann nach a_k+1 umgestellt wodruch meine Rekursionsformel zustande kommt

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Meinen Hinweis zu den k's hast Du ja gelesen?!

Und in Deinen Formel stimmen mindestens die Indices nicht. Es wird eine zweigliedrige Rekursionsformel werden.

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Ich verstehe deine Hinweis zu den k‘s nicht. Es ist doch gleich =0

Müssen die Laufindices immer gleich sein?

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Es geht ja um einen Koeffizientenvergleich. Für welche k's gilt Deine Formel? Hast Du noch nicht geprüft und beantwortet.

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Ich habe ja meine Rekursionsformel aufgestellt aber dann würde ich ja durch 0 teilen mit k=0. Also gilt es nur für größer gleich 1

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Wir sind noch bei Deiner Rekursionsformel, vor dem Umstellen. Da ist keine Division drin. Umstellen kommt ggf. danach.

In meiner Formel war noch ein Fehler, Korrektur kommt gleich noch.

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Ja ich setze dass in der Klammer gleich null, da rechts null steht

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Wir sind noch bei Deiner Rekursionsformel, vor dem Umstellen. Da ist keine Division drin. Umstellen kommt ggf. danach.

Ich komme nun auch auf Deine zuletzt genannte Formel. Von der Formel her. Zur Gültigkeit s.o.