Polynomdivison mit komplexen Zahlen

Question

Aufgabe:

F(z)= (z^3 + (2+2i)z^2 + (9i)z + (5 +25i))/(z+3+i)

Also die NST ist: -3-i und ich muss das restpolynom herausfinden, nur irgendwie kommt es inmitten der Rechnung zu Unstimmigkeiten.

Answer 1

  \((z^3 + 2z^2+2iz^2 + 9iz + 5 +25i):(z+3+i)=z^2-z+iz+7i+4\)

\(-(z^3+3z^2+iz^2)\)

----------------------------

         \(-z^2+iz^2+9iz\)

    \(-(-z^2-3z  -iz)\)

    -------------------------------

           \(iz^2+3z+10iz\)

     \(-(iz^2+3iz-z)\)

   -------------------------------

            \(7iz+4z+5+25i\)

       \(-(7iz+21i-7)\)

        -------------------------------

                    \(4z+4i+12\)

               \(-(4z+12+4i)\)

           -------------------------------

                        \(0\)

Comments

Perfekt danke dir! und wie ermittel ich die 2 NST daraus:)

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Wie ermittele ich die 2 NST daraus?

Daraus brauchst du die 2NST gar nicht entwickeln:

DIe 1. Nullstelle ist \(z_1=-3-i\) Somit ist die konjugiert komplexe Nullstelle \(z_2=-3+i\)

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DD gilt (sllgemein) nur wenn die Koeffizienten des Polynoms reell sind.

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DD gilt (allgemein) nur, wenn die Koeffizienten des Polynoms reell sind.

Was bedeutet  DD ?

Hier gibt es keine reellen  Koeffizienten. Kann ich daraus schließen, dass die konjugiert komplexe Nullstelle nicht existiert?

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DD sollte Das sein.

Ja, die konjugiert komplexe Zahl zur Nullstelle ist keine Nullstelle.

Answer 2

Vielleicht fällt es Dir leichter die Nullstelle (z-(-3- ί) )schrittweise zu multipizieren um das Polynom zu erzeugen

(z^3 + (2+2 ί )z^2 + (9 ί )z + (5 +25 ί ))

z^2 (z-(-3- ί) )    ==> z³ + 3z² + ί z² ||+ z(-1 + i)

z^2 (z-(-3- ί) ) + z (-1 + ί) (z - (-3 - ί))   == > z³ + 2z² - 4z + 2ί z² + 2ί z   || +z(4 +7i)

z^2 (z-(-3- ί) ) + z (-1 + ί) (z - (-3 - ί)) +  (4 + 7ί) (z - (-3 - ί))

\(\left(z^{2} + z \; \left(-1 + i \right) + 4 + 7 \; i \right) \; \left(z - \left(-3 - i \right) \right)\)