Polynomdivison mit Nullstellen. f(x) = x^5 + x^3 - 2x

Question

Guten tag ich bräuchte nur eine hilfestellung zur aufgabe b) wie ihr unten sieht habe ich schon rum probiert leider stehe ich grade auf den schlauch bei hilfe bedanke ich mich schonmal im voraus !

Answer 1

es geht hier ohne Polynomdivision (also ohne Raten):

f(x) =  x⁵ + x³ - 2x  = x • (x⁴ + x² - 2)    

 ⇔  x = 0  oder   x⁴ + x² - 2 = 0   [ Nullproduktsatz ]  ,     also x₁ = 0   

 x⁴ + x² - 2 = 0 

setze z = x² 

z² + z - 2 = 0  ⇔  (z-1) • (z+2) = 0  ⇔ z = 1 oder  z = -2  [editiert] 

[ oder pq-Formel ]

z = 1 = x²  →   x₂ = 1 , x₃ = -1

z = -2 = x²   ergibt keine Lösungen

L = { -1 ; 0 ; 1 }

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

Du hast noch einen kleinen Fehler, denn Du am Ende schon korrigiert hast an der Stelle

\( \Leftrightarrow z = 1 \) oder \( z = -1 \)

denn die zweite Lösung ist ja \( z = -2 \)

Gruß

---

Hallo Snoopy,

danke für den Hinweis. Habe es die Korrektur vervollständigt.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Ein tipp: klammere ein x aus und mache dann eine biquadratische substitution. Dann brauchst du keine polynom Division. 

Answer 3

Hallo

Aufgabe b)

das geht so:

wenn Du es mit Polynomdivision machen willst :

Answer 4

x^5 + x^3 - 2x = x * (x^4 + x^2 - 2)

(x^4 + x^2 - 2) / (x - 1) = x^3 + x^2 + 2·x + 2

(x^3 + x^2 + 2·x + 2) / (x + 1) = x^2 + 2

Keine weiteren Nullstellen

Die Polynomdivision kannst du dir vorrechnen lassen unter

https://www.matheretter.de/rechner/polynomdivision

Answer 5

\(f(x) = x^5 + x^3 - 2x\)

\( x^5 + x^3 - 2x=0\)

\( x(x^4+x^2 - 2)=0\)

\( x_1=0\)

\(x^4+x^2 - 2=0\)

\(x^4+1x^2 =2\)

\(x^4+1x^2+(\frac{1}{2} )^2=2+(\frac{1}{2} )^2\)

1.Binom:

\((x^2+\frac{1}{2} )^2=2,25|±\sqrt{~~}\)

1.)

\(x^2+\frac{1}{2} =1,5\)

\(x^2 =-0,5+1,5=1|±\sqrt{~~}\)

\(x_2 =1\)

\(x_3 =-1\)

Das sind die Lösungen ∈ ℝ

2.)

\(x^2+\frac{1}{2} =-1,5\)

\(x^2 =-2\)

\(x^2 =2i^2|±\sqrt{~~}\)

\(x_4 =i\sqrt{2}\)

\(x_5=-i\sqrt{2}\)

Das sind die Lösungen ∉ ℝ

Comments

Ich würde es so rechnen:

x*(x^4+x^2-2)= x*(x^2+2)*(x^2-1) = x*(x^2+2)(x+1)(x-1)=0

x1=0

x2=1

x3= -1

x^2+1 kann nicht 0 werden in ℝ